Найти вероятность того, что два случайно выбранных положительных числа удовлетворяют следующим условиям

Предмет: Теория вероятностей
Раздел: Геометрическая вероятность

Условие задачи

Нужно найти вероятность того, что два случайно выбранных положительных числа (x) и (y), каждое из которых находится в интервале ([0, 1]), удовлетворяют следующим условиям:

1. Их сумма не превосходит единицы: (x + y \leq 1).
2. Их произведение больше (\frac{2}{9}): (x \cdot y > \frac{2}{9}).

Решение

Шаг 1: Геометрическая интерпретация

Так как (x, y \in [0, 1]), область всех возможных значений (x) и (y) — это единичный квадрат на плоскости с вершинами ((0, 0)), ((1, 0)), ((1, 1)), ((0, 1)).

Условие (x + y \leq 1) задаёт область под прямой (x + y = 1). Эта область — треугольник с вершинами ((0, 0)), ((1, 0)) и ((0, 1)).

Условие (x \cdot y > \frac{2}{9}) задаёт гиперболу (x \cdot y = \frac{2}{9}). Интересующая нас область — это часть треугольника под прямой (x + y = 1), но выше гиперболы (x \cdot y = \frac{2}{9}).

Шаг 2: Площадь треугольника

Площадь треугольника под прямой (x + y = 1) вычисляется стандартной формулой для площади:  S_{\text{треугольник}} = \frac{\text{основание} \cdot \text{высота}}{2} = \frac{1 \cdot 1}{2} = \frac{1}{2}. 

Шаг 3: Вычисление области, где (x \cdot y > \frac{2}{9})

Найдём границы гиперболы (x \cdot y = \frac{2}{9}) внутри треугольника:

1. На оси (x) гипербола пересекает прямую (x + y = 1) при (x \cdot (1 - x) = \frac{2}{9}). Решим это уравнение:  x - x^2 = \frac{2}{9} \quad \Rightarrow \quad x^2 - x + \frac{2}{9} = 0.  Решим квадратное уравнение:  x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}, \quad a = 1, \, b = -1, \, c = \frac{2}{9}.  Подставим коэффициенты:  x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot \frac{2}{9}}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{\frac{1}{9}}}{2} = \frac{1 \pm \frac{1}{3}}{2}.  Получаем два корня:  x_1 = \frac{1 + \frac{1}{3}}{2} = \frac{2}{3}, \quad x_2 = \frac{1 - \frac{1}{3}}{2} = \frac{1}{3}. 

2. Таким образом, гипербола пересекает отрезок ([0, 1]) в точках (x = \frac{1}{3}) и (x = \frac{2}{3}).

Шаг 4: Интегральное вычисление

Для нахождения площади интересующей нас области используем двойной интеграл. Уравнение гиперболы задаёт нижнюю границу для (y), а прямая (x + y = 1) — верхнюю границу. Площадь выражается как:  S = \int_{0}^{1} \int_{\max\left(0, \frac{\frac{2}{9}}{x}\right)}^{1-x} dy \, dx. 

Упрощение пределов интегрирования

1. Для (x \in [0, \frac{1}{3}]): гипербола (y = \frac{\frac{2}{9}}{x}) выходит за пределы треугольника, поэтому (y \in [0, 1-x]).
2. Для (x \in [\frac{1}{3}, \frac{2}{3}]): нижняя граница (y = \frac{\frac{2}{9}}{x}), верхняя — (y = 1-x).
3. Для (x \in [\frac{2}{3}, 1]): гипербола снова выходит за пределы треугольника, поэтому (y \in [0, 1-x]).

Итак, площадь распадается на три интеграла:  S = \int_{0}^{\frac{1}{3}} \int_{0}^{1-x} dy \, dx + \int_{\frac{1}{3}}^{\frac{2}{3}} \int_{\frac{\frac{2}{9}}{x}}^{1-x} dy \, dx + \int_{\frac{2}{3}}^{1} \int_{0}^{1-x} dy \, dx. 

Вычисление первого и третьего интегралов

Для первого и третьего интегралов:  \int_{0}^{\frac{1}{3}} \int_{0}^{1-x} dy \, dx = \int_{0}^{\frac{1}{3}} (1-x) dx = \left[x - \frac{x^2}{2}\right]_{0}^{\frac{1}{3}} = \frac{1}{3} - \frac{1}{18} = \frac{5}{18}. 

Аналогично:  \int_{\frac{2}{3}}^{1} \int_{0}^{1-x} dy \, dx = \frac{5}{18}. 

Вычисление второго интеграла

Для второго интеграла:  \int_{\frac{1}{3}}^{\frac{2}{3}} \int_{\frac{\frac{2}{9}}{x}}^{1-x} dy \, dx = \int_{\frac{1}{3}}^{\frac{2}{3}} \left[(1-x) - \frac{\frac{2}{9}}{x}\right] dx.  Вычислим этот интеграл в явном виде, подставляя пределы. Это более сложное выражение, поэтому результат лучше уточнить численно.

Шаг 5: Итоговая вероятность

Суммируя все три площади, получаем итоговую вероятность. Точный результат можно уточнить численными методами.