Найти вероятность того, что два определенных человека окажутся рядом при случайной рассадке 7 человек на семиместную скамейку и за семиместный круглый стол

Предмет: Математика
Раздел: Теория вероятностей, комбинаторика

Задача: Найти вероятность того, что два определенных человека окажутся рядом при случайной рассадке 7 человек на семиместную скамейку и за семиместный круглый стол.

Часть 1. Рассадка на семиместную скамейку

Всего 7 человек случайно рассаживаются на 7 мест.

Общее число способов рассадки:
7!

Событие: два определенных человека сидят рядом

Обозначим этих двух человек как A и B.

Рассмотрим их как один "блок" (объединённый элемент). Тогда у нас будет:

• 1 блок (A и B вместе)
• 5 остальных человек

Итого: 6 "объектов" для перестановки.

Число способов переставить эти 6 объектов:
6!

Внутри блока A и B могут меняться местами, значит умножаем на 2 (A-B или B-A).

Итого число благоприятных исходов:
2 \times 6!

Вероятность

Вероятность того, что A и B сидят рядом на скамейке:
 P = \frac{2 \times 6!}{7!} = \frac{2 \times 720}{5040} = \frac{1440}{5040} = \frac{2}{7} 

Часть 2. Рассадка за семиместный круглый стол

При рассадке за круглым столом количество различных рассадок для 7 человек:
(7 - 1)! = 6!

(Поскольку рассадки, отличающиеся только поворотом стола, считаются одинаковыми.)

Событие: два определенных человека сидят рядом

Опять объединяем A и B в один блок.

Теперь у нас 6 объектов (блок + 5 человек), и рассадки за круглым столом:
(6 - 1)! = 5!

Внутри блока A и B могут меняться местами: умножаем на 2.

Итого благоприятных рассадок:
2 \times 5!

Вероятность

Вероятность того, что A и B сидят рядом за круглым столом:
 P = \frac{2 \times 5!}{6!} = \frac{2 \times 120}{720} = \frac{240}{720} = \frac{1}{3} 

Итог:

• Вероятность того, что два определенных человека окажутся рядом на семиместной скамейке:
  \frac{2}{7}

• Вероятность того, что два определенных человека окажутся рядом при рассадке за семиместным круглым столом:
  \frac{1}{3}