Найти вероятность того, что два определенных человека окажутся рядом на семиместной скамейке (линейная последовательность)

Предмет: Математика
Раздел: Теория вероятностей (Комбинаторика)

Дано: 7 человек рассаживаются случайным образом на 7 мест.

Задача:

1. Найти вероятность того, что два определенных человека окажутся рядом на семиместной скамейке (линейная последовательность).
2. Найти вероятность того, что два определенных человека окажутся рядом при рассадке за семиместным круглым столом.

1. Рассадка на семиместной скамейке (линейная последовательность)

Общее число способов рассадки 7 человек на 7 мест:
7!

Рассмотрим два определенных человека, обозначим их как A и B.

Чтобы они сидели рядом, можно рассматривать их как один "блок" (AB или BA), а остальных 5 человек отдельно.

• Количество способов расположить "блок" и остальных 5 человек:
  6!
  (Потому что "блок" + 5 человек = 6 объектов)

• Внутри "блока" два человека могут поменяться местами: 2 варианта (AB или BA).

Итого число благоприятных вариантов:
2 \times 6!

Вероятность того, что A и B сидят рядом:
P = \frac{2 \times 6!}{7!} = \frac{2 \times 720}{5040} = \frac{1440}{5040} = \frac{2}{7}

2. Рассадка за семиместным круглым столом

При рассадке за круглым столом учитывается, что поворот стола не меняет расположение, поэтому общее число различных рассадок:
(7-1)! = 6!

Теперь рассмотрим два человека A и B, которые должны сидеть рядом.

Так как круг, можно считать, что A фиксирован, а B может занять либо место справа, либо слева от A (2 варианта).

Остальные 5 человек рассаживаются на оставшиеся 5 мест: 5!

Итого число благоприятных вариантов:
2 \times 5! = 2 \times 120 = 240

Общее число вариантов:
6! = 720

Вероятность:
P = \frac{2 \times 5!}{6!} = \frac{240}{720} = \frac{1}{3}

Итог:

• Вероятность того, что два определенных человека окажутся рядом на скамейке:
  \frac{2}{7}

• Вероятность того, что два определенных человека окажутся рядом за круглым столом:
  \frac{1}{3}