Найти вероятность того, что длина наудачу взятой детали: 1) больше 80 мл: 2) меньше 65 мм

Предмет: Теория вероятностей и математическая статистика.

Задача:

Нам дано:

• Длина детали распределена нормально с математическим ожиданием (проектной длиной): \( \mu = 75 \, \text{мм} \).
• Фактический диапазон значений: от \( 60 \, \text{мм} \) до \( 90 \, \text{мм} \). Это подразумевает, что 99.7% значений находятся в этом диапазоне (по правилу \(3\sigma\) нормального распределения).

Требуется найти вероятность двух событий:

1. что длина детали больше \( 80 \, \text{мм} \),
2. что длина детали меньше \( 65 \, \text{мм} \).

Чтобы решить задачу, нам нужно найти значение стандартного отклонения \( \sigma \) и рассчитать вероятности через стандартную нормальную функцию (или таблицы функции Лапласа).

---

Решение:

1. Находим стандартное отклонение (\( \sigma \)):

Из условия диапазон \( [\mu - 3\sigma, \mu + 3\sigma] = [60, 90] \).

\[ \mu - 3\sigma = 60, \quad \mu + 3\sigma = 90. \]

Подставляем \( \mu = 75 \):

\[ 75 - 3\sigma = 60, \quad 75 + 3\sigma = 90. \]

Решаем первое уравнение:

\[ 3\sigma = 75 - 60 = 15 \implies \sigma = 5. \]

---

2. Найдем вероятность того, что длина больше \( 80 \, \text{мм} \):

Перейдем к стандартному нормальному распределению:

\[ z = \frac{x - \mu}{\sigma}. \]

Для \( x = 80 \):

\[ z = \frac{80 - 75}{5} = 1. \]

Теперь воспользуемся таблицей функции Лапласа \( \Phi(z) \), либо стандартной нормальной распространенной функцией:

\[ P(Z > 1) = 1 - \Phi(1). \]

Для \( z = 1 \):

\[ \Phi(1) = 0.8413. \]

Следовательно:

\[ P(Z > 1) = 1 - 0.8413 = 0.1587. \]

Ответ для первой части: вероятность того, что длина больше \( 80 \, \text{мм} \), равна \( 0.1587 \) (или \( 15.87\% \)).

---

3. Найдем вероятность того, что длина меньше \( 65 \, \text{мм} \):

Для \( x = 65 \):

\[ z = \frac{65 - 75}{5} = -2. \]

Вероятность для \( Z < -2 \) вычислим с помощью функции Лапласа:

\[ P(Z < -2) = \Phi(-2). \]

Зная, что \( \Phi(-z) = 1 - \Phi(z) \), где \( \Phi(2) = 0.9772 \):

\[ \Phi(-2) = 1 - 0.9772 = 0.0228. \]

Ответ для второй части: вероятность того, что длина меньше \( 65 \, \text{мм} \), равна \( 0.0228 \) (или \( 2.28\% \)).

---

Итоговые ответы:

1. Вероятность, что длина больше \( 80 \, \text{мм} \): \( 0.1587 \) (или \( 15.87\% \)).
2. Вероятность, что длина меньше \( 65 \, \text{мм} \): \( 0.0228 \) (или \( 2.28\% \)).