Найти вероятность того, что деталь изготовлена на втором станке, если она оказалась бракованной

Предмет: Теория вероятностей

Раздел: Формула полной вероятности, формула Байеса

Дано:

• Вероятности брака для станков:
  • Первый станок: P(B|S_1) = 0.02
  • Второй станок: P(B|S_2) = 0.01
  • Третий станок: P(B|S_3) = 0.03
• Производительности станков (доли деталей):
  • Первый станок: P(S_1) = \frac{5}{10} = 0.5
  • Второй станок: P(S_2) = \frac{3}{10} = 0.3
  • Третий станок: P(S_3) = \frac{2}{10} = 0.2

Решение:

а) Найти вероятность того, что взятая наугад деталь будет бракованной.
Используем формулу полной вероятности:
P(B) = P(B|S_1)P(S_1) + P(B|S_2)P(S_2) + P(B|S_3)P(S_3)

Подставляем значения:
 P(B) = (0.02 \cdot 0.5) + (0.01 \cdot 0.3) + (0.03 \cdot 0.2) 

 P(B) = 0.01 + 0.003 + 0.006 = 0.019 

Ответ: вероятность того, что случайно выбранная деталь окажется бракованной, равна 0.019 (или 1.9%).

б) Найти вероятность того, что деталь изготовлена на втором станке, если она оказалась бракованной.
Используем формулу Байеса:
 P(S_2 | B) = \frac{P(B | S_2) P(S_2)}{P(B)} 

Подставляем значения:
 P(S_2 | B) = \frac{(0.01 \cdot 0.3)}{0.019} = \frac{0.003}{0.019} \approx 0.1579 

Ответ: вероятность того, что бракованная деталь изготовлена на втором станке, равна 0.158 (или 15.8%).