Найти вероятность того, что число занятых мест будет от 180 до 190 (включительно)

Предмет: Вероятность и статистика

Условие:

У авиакомпании известно, что 4% людей, купивших билеты, не будут их использовать. Продано 200 билетов. Требуется найти вероятность того, что число занятых мест будет от 180 до 190 (включительно).

Решение:

Этот пример решается с использованием распределения Бернулли (биномиального распределения), которое может быть приближено при больших объемах выборки к нормальному распределению из-за центральной предельной теоремы.

1. Параметры биномиального распределения:

У нас есть биномиальная случайная величина $\text{(}X\text{)}$, которая описывает число людей, использующих билет.

• Объем выборки: $\text{(}n=200\text{)}$,
• Вероятность успеха (человек действительно использует билет): $\text{(}p=1-0.04=0.96\text{)}$,
• Вероятность неиспользования билета: $\text{(}q=1-p=0.04\text{)}$.

Среднее (математическое ожидание) биномиального распределения:

$\text{[}\mu =n\cdot p=200\cdot 0.96=192\text{]}$

Дисперсия и стандартное отклонение:

$\text{[}{\sigma }^2=n\cdot p\cdot q=200\cdot 0.96\cdot 0.04=7.68,\sigma =\sqrt{7.68}\approx 2.77\text{]}$

2. Переход к нормальному распределению:

Для больших $\text{(}n\text{)}$ биномиальное распределение можно приблизить нормальным с параметрами:

$\text{(}X\sim \mathcal{N}(\mu ,{\sigma }^2),X\sim \mathcal{N}(192,7.68).\text{)}$

Вероятность того, что число занятых мест будет от 180 до 190 включительно:

$\text{[}P(180\le X\le 190).\text{]}$

Для приближения к нормальному распределению используем непрерывную коррекцию:

$\text{[}P(180\le X\le 190)\approx P(179.5\le X\le 190.5).\text{]}$

3. Нормализация (вычисление $\text{(}Z\text{)}$-оценки):

Стандартизируем величины:

$\text{[}Z=\frac{X-\mu }{\sigma }.\text{]}$

• Для $\text{(}X=179.5\text{)}$:

$\text{[}{Z}_1=\frac{179.5-192}{2.77}\approx -4.51.\text{]}$

• Для $\text{(}X=190.5\text{)}$:

$\text{[}{Z}_2=\frac{190.5-192}{2.77}\approx -0.54.\text{]}$

4. Нахождение вероятностей:

С помощью таблицы стандартного нормального распределения ищем вероятности:

• $\text{(}P(Z\le -4.51)\approx 0\text{)}$ (очень маленькое значение),
• $\text{(}P(Z\le -0.54)\text{)}$: Смотрим по таблице стандартного нормального распределения:

$\text{[}P(Z\le -0.54)\approx 0.2946.\text{]}$

Итоговая вероятность:

$\text{[}P(180\le X\le 190)=P(Z\le -0.54)-P(Z\le -4.51)\approx 0.2946-0\approx 0.2946.\text{]}$

Ответ:

Вероятность того, что число занятых мест будет от 180 до 190 включительно, примерно равна $\text{(}0.2946\text{)}$ (29.46%).