Найти вероятность того, что число занятых мест будет от 180 до 190 (включительно)

Предмет: Вероятность и статистика

Условие:

У авиакомпании известно, что 4% людей, купивших билеты, не будут их использовать. Продано 200 билетов. Требуется найти вероятность того, что число занятых мест будет от 180 до 190 (включительно).

Решение:

Этот пример решается с использованием распределения Бернулли (биномиального распределения), которое может быть приближено при больших объемах выборки к нормальному распределению из-за центральной предельной теоремы.

1. Параметры биномиального распределения:

У нас есть биномиальная случайная величина \(X\), которая описывает число людей, использующих билет.

• Объем выборки: \(n = 200\),
• Вероятность успеха (человек действительно использует билет): \(p = 1 - 0.04 = 0.96\),
• Вероятность неиспользования билета: \(q = 1 - p = 0.04\).

Среднее (математическое ожидание) биномиального распределения:

\[\mu = n \cdot p = 200 \cdot 0.96 = 192\]

Дисперсия и стандартное отклонение:

\[\sigma^2 = n \cdot p \cdot q = 200 \cdot 0.96 \cdot 0.04 = 7.68, \quad \sigma = \sqrt{7.68} \approx 2.77\]

2. Переход к нормальному распределению:

Для больших \(n\) биномиальное распределение можно приблизить нормальным с параметрами:

\(X \sim \mathcal{N}(\mu, \sigma^2), \quad X \sim \mathcal{N}(192, 7.68).\)

Вероятность того, что число занятых мест будет от 180 до 190 включительно:

\[P(180 \leq X \leq 190).\]

Для приближения к нормальному распределению используем непрерывную коррекцию:

\[P(180 \leq X \leq 190) \approx P(179.5 \leq X \leq 190.5).\]

3. Нормализация (вычисление \(Z\)-оценки):

Стандартизируем величины:

\[Z = \frac{X - \mu}{\sigma}.\]

• Для \(X = 179.5\):

\[Z_1 = \frac{179.5 - 192}{2.77} \approx -4.51.\]

• Для \(X = 190.5\):

\[Z_2 = \frac{190.5 - 192}{2.77} \approx -0.54.\]

4. Нахождение вероятностей:

С помощью таблицы стандартного нормального распределения ищем вероятности:

• \(P(Z \leq -4.51) \approx 0\) (очень маленькое значение),
• \(P(Z \leq -0.54)\): Смотрим по таблице стандартного нормального распределения:

\[P(Z \leq -0.54) \approx 0.2946.\]

Итоговая вероятность:

\[P(180 \leq X \leq 190) = P(Z \leq -0.54) - P(Z \leq -4.51) \approx 0.2946 - 0 \approx 0.2946.\]

Ответ:

Вероятность того, что число занятых мест будет от 180 до 190 включительно, примерно равна \(0.2946\) (29.46%).