Найти вероятность того, что число прижившихся деревьев больше 250, если вероятность того, что отдельное дерево приживется равна 0.8

Задание относится к предмету "Теория вероятностей" и к ее одному из разделов — "Биномиальное распределение".

• Обозначим \( n \) как общее количество деревьев. В данной задаче \( n = 400 \).
• Обозначим \( p \) как вероятность того, что отдельное дерево приживется. В данной задаче \( p = 0.8 \).
• Мы должны найти вероятность того, что число прижившихся деревьев (обозначим его как \( k \)) больше 250, то есть \( P(X > 250) \), где \( X \) — случайная величина, распределенная по биномиальному закону с параметрами \( n \) и \( p \).

Для больших \( n \) (в данном случае \( n = 400 \) достаточно велико), биномиальное распределение \( X \sim B(n, p) \) можно аппроксимировать нормальным распределением \( N(\mu, \sigma^2) \), где:

• \( \mu = np \) — математическое ожидание.
• \( \sigma^2 = np(1-p) \) — дисперсия.

Посчитаем математическое ожидание \( \mu \): \[\ \mu = np = 400 \times 0.8 = 320 \]\

Посчитаем дисперсию \( \sigma^2 \) и стандартное отклонение \( \sigma \): \[\ \sigma^2 = np(1 - p) = 400 \times 0.8 \times 0.2 = 64 \]\ \[\ \sigma = \sqrt{64} = 8 \]\

Итак, аппроксимируемая нормальная случайная величина \( X \) распределена как \( N(320, 64) \).

Используем \( Z \)-преобразование, чтобы перевести нашу задачу в стандартное нормальное распределение \( Z \sim N(0, 1) \): \[\ Z = \frac{X - \mu}{\sigma} \]\

Мы ищем \( P(X > 250) \). Преобразуем \( X \) в \( Z \): \[\ P(X > 250) = P\left( \frac{X - \mu}{\sigma} > \frac{250 - 320}{8} \right) \]\ \[\ = P\left( Z > \frac{250 - 320}{8} \right) \]\ \[\ = P(Z > -8.75) \]\

Для стандартного нормального распределения известно, что: \[\ P(Z > -8.75) \approx 1 \]\

Поскольку -8.75 далеко влево от среднего значения (у стандартного нормального распределения среднее равно нулю), вероятность \( P(Z > -8.75) \) очень близка к 1.

Ответ:

Вероятность того, что число прижившихся деревьев больше 250, составляет примерно 1 (то есть, вероятность очень близко к 100%).