Найти вероятность того, что число прижившихся деревьев больше 250

Этот вопрос относится к предмету теория вероятностей и разделу биномиальное распределение.

Для решения задачи, где вероятность успеха фиксирована, а каждая попытка независима, применяется биномиальное распределение. В данной задаче мы рассматриваем вопрос, касающийся количества прижившихся деревьев.

Данные задачи

• Общее количество посаженных деревьев (\(n\)) = 400.
• Вероятность того, что отдельное дерево приживется (\(p\)) = 0.8.
• Нам нужно найти вероятность того, что число прижившихся деревьев (\(X\)) больше 250.

Первым шагом давайте определим функцию распределения, которую мы будем использовать. В данном случае это биномиальное распределение:

\[ P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k} \]

Здесь \(\binom{n}{k}\) — биномиальный коэффициент, \(k\) — количество успехов, \(n\) — количество испытаний, \(p\) — вероятность успеха в каждом испытании, \(1-p\) — вероятность неудачи.

Нахождение среднего и стандартного отклонения

Используем свойства биномиального распределения:

• Среднее значение: \[ \mu = np \] \[ \mu = 400 \times 0.8 = 320 \]
• Стандартное отклонение: \[ \sigma = \sqrt{np(1-p)} \] \[ \sigma = \sqrt{400 \times 0.8 \times 0.2} = \sqrt{64} = 8 \]

Теперь будем использовать нормальное приближение биномиального распределения, так как \(n\) достаточно велико. Для нахождения вероятности используем функцию стандартного нормального распределения.

Применение нормального распределения

Для нахождения вероятности \(P(X > 250)\) преобразуем \(X\) в стандартную нормальную величину \(Z\):

\[ Z = \frac{X - \mu}{\sigma} \]

Найдем \(Z\)-значение для \(X = 250\):

\[ Z = \frac{250 - 320}{8} = \frac{-70}{8} = -8.75 \]

Теперь нас интересует вероятность:

\[ P(X > 250) = P\left(Z > \frac{250 - 320}{8}\right) = P(Z > -8.75) \]

По свойствам нормального распределения:

\[ P(Z > -8.75) \approx 1 \]

Так как значение \(Z = -8.75\) далеко влево от среднего, вероятность \(P(Z > -8.75)\) чрезвычайно близка к 1.

Заключение

Вероятность того, что число прижившихся деревьев будет больше 250, практически равна 1 (очень высокая вероятность).