Найти вероятность того, что чайник выдержит гарантийный срок

Предмет: Теория вероятностей
Раздел: Формула полной вероятности и формула Байеса

Обозначим:

• Пусть первый завод производит 3x чайников, второй — x, третий — \frac{3x}{2}.
• Тогда суммарное производство:
  3x + x + \frac{3x}{2} = \frac{9x}{2}.
• Вероятность того, что случайно выбранный чайник произведен на первом заводе:
  P(A_1) = \frac{3x}{\frac{9x}{2}} = \frac{2}{3}.
• Вероятность того, что чайник произведен на втором заводе:
  P(A_2) = \frac{x}{\frac{9x}{2}} = \frac{2}{9}.
• Вероятность того, что чайник произведен на третьем заводе:
  P(A_3) = \frac{\frac{3x}{2}}{\frac{9x}{2}} = \frac{1}{6}.

Даны вероятности того, что чайник выдержит гарантийный срок:

• Для первого завода: P(B|A_1) = 0.95.
• Для второго завода: P(B|A_2) = 0.96.
• Для третьего завода: P(B|A_3) = 0.91.

Решение пункта (a)

Используем формулу полной вероятности:

 P(B) = P(B|A_1) P(A_1) + P(B|A_2) P(A_2) + P(B|A_3) P(A_3) 

Подставляем значения:

 P(B) = 0.95 \cdot \frac{2}{3} + 0.96 \cdot \frac{2}{9} + 0.91 \cdot \frac{1}{6} 

Вычисляем:

 P(B) = \frac{1.9}{3} + \frac{1.92}{9} + \frac{0.91}{6} 

Приводим к общему знаменателю (знаменатель 18):

 P(B) = \frac{11.4}{18} + \frac{3.84}{18} + \frac{2.73}{18} = \frac{17.97}{18} \approx 0.998 

Решение пункта (b)

Используем формулу Байеса:

 P(A_2 | B) = \frac{P(B | A_2) P(A_2)}{P(B)} 

Подставляем значения:

 P(A_2 | B) = \frac{0.96 \cdot \frac{2}{9}}{0.998} 

Вычисляем числитель:

 0.96 \cdot \frac{2}{9} = \frac{1.92}{9} = \frac{0.2133}{1} 

Теперь считаем:

 P(A_2 | B) = \frac{0.2133}{0.998} \approx 0.214 

Ответ:

a) Вероятность того, что чайник выдержит гарантийный срок: 0.998.
b) Вероятность того, что выдержавший гарантийный срок чайник был изготовлен на втором заводе: 0.214.