Найти вероятность того, что будут вынуты три туза; хотя бы один король; больше двух тузов

Предмет: Математика
Раздел: Теория вероятностей, комбинаторика

Рассмотрим задачу по частям. Нам дана колода из 36 карт (обычная колода без джокеров, 4 масти по 9 карт: 6, 7, 8, 9, 10, валет, дама, король, туз). Из этой колоды случайным образом извлекаются 5 карт. Требуется найти:

1. Вероятность того, что среди них три туза
2. Вероятность того, что среди них хотя бы один король
3. Вероятность того, что среди них больше двух тузов

Обозначим общее количество способов выбрать 5 карт из 36:

 C(36, 5) 

Это общее количество всевозможных пятёрок карт из колоды:

 C(36, 5) = \frac{36!}{5!(36 - 5)!} = 376,992 

1. Вероятность того, что вынуты три туза

В колоде 4 туза. Нам нужно выбрать 3 из них, и ещё 2 карты из оставшихся 32 не тузов.

Число благоприятных исходов:

 C(4, 3) \cdot C(32, 2) 

 C(4, 3) = 4,\quad C(32, 2) = \frac{32 \cdot 31}{2} = 496 

Итак, благоприятных исходов:

 4 \cdot 496 = 1984 

Вероятность:

 P_1 = \frac{1984}{C(36, 5)} = \frac{1984}{376992} \approx 0.00526 

2. Вероятность того, что хотя бы один король

В колоде 4 короля. Вероятность хотя бы одного короля = 1 - вероятность, что ни одного короля.

Число карт без королей: 36 - 4 = 32

Число способов выбрать 5 карт без королей:

 C(32, 5) 

Вычислим:

 C(32, 5) = \frac{32!}{5!(32 - 5)!} = 201376 

Тогда:

 P_2 = 1 - \frac{C(32, 5)}{C(36, 5)} = 1 - \frac{201376}{376992} \approx 1 - 0.5342 = 0.4658 

3. Вероятность, что больше двух тузов

Это означает: либо 3 туза, либо 4 туза

Мы уже нашли число благоприятных исходов для 3 тузов: 1984

Теперь найдём число благоприятных исходов для 4 тузов:

Нужно выбрать 4 туза из 4 (единственный способ), и ещё одну карту из оставшихся 32:

 C(4, 4) \cdot C(32, 1) = 1 \cdot 32 = 32 

Общее число благоприятных исходов:

 1984 + 32 = 2016 

Тогда вероятность:

 P_3 = \frac{2016}{C(36, 5)} = \frac{2016}{376992} \approx 0.00535 

Ответ:

1. Вероятность того, что вынуты три туза:
   \boxed{P_1 \approx 0.00526}

2. Вероятность того, что вынут хотя бы один король:
   \boxed{P_2 \approx 0.4658}

3. Вероятность того, что вынуто больше двух тузов:
   \boxed{P_3 \approx 0.00535}