Найти вероятность того, что будет сделано не более трёх бросков

Определение предмета и раздела

Предмет: Теория вероятностей и математическая статистика
Раздел: Дискретные случайные величины, геометрическое распределение

Решение

а) Распределение случайной величины ( X )

Случайная величина ( X ) — это число бросков игральной кости до первого появления шестёрки.
Вероятность выпадения шестёрки при одном броске:
P(шестерка) = \frac{1}{6},
а вероятность того, что шестёрка не выпадет:
P(\text{не шестерка}) = \frac{5}{6}.

Так как мы повторяем броски до первого успеха, ( X ) подчиняется геометрическому распределению с параметром ( p = \frac{1}{6} ):

P(X = k) = (1 - p)^{k-1} p = \left(\frac{5}{6}\right)^{k-1} \cdot \frac{1}{6}, \quad k = 1, 2, 3, \dots

б) Математическое ожидание и дисперсия случайной величины ( X )

Для геометрического распределения с параметром ( p ) известны формулы:

• Математическое ожидание:
  E[X] = \frac{1}{p} = \frac{1}{\frac{1}{6}} = 6

• Дисперсия:
  D[X] = \frac{1 - p}{p^2} = \frac{\frac{5}{6}}{\left(\frac{1}{6}\right)^2} = \frac{5}{36} \cdot 36 = 30

в) Вероятность того, что будет сделано не более трёх бросков

Найдем вероятность события ( X \leq 3 ), то есть сумму вероятностей для ( X = 1, 2, 3 ):

 P(X \leq 3) = P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3) 

Вычислим каждую вероятность:

 P(X = 1) = \left(\frac{5}{6}\right)^{0} \cdot \frac{1}{6} = \frac{1}{6} 

 P(X = 2) = \left(\frac{5}{6}\right)^{1} \cdot \frac{1}{6} = \frac{5}{36} 

 P(X = 3) = \left(\frac{5}{6}\right)^{2} \cdot \frac{1}{6} = \frac{25}{216} 

Сложим:

 P(X \leq 3) = \frac{1}{6} + \frac{5}{36} + \frac{25}{216} 

Приведем к общему знаменателю (216):

 P(X \leq 3) = \frac{36}{216} + \frac{30}{216} + \frac{25}{216} = \frac{91}{216} \approx 0.4213 

Ответ:

а) ( X ) подчиняется геометрическому распределению с вероятностью
P(X = k) = \left(\frac{5}{6}\right)^{k-1} \cdot \frac{1}{6}, \quad k = 1, 2, 3, \dots

б)
Математическое ожидание: E[X] = 6
Дисперсия: D[X] = 30

в) Вероятность того, что будет сделано не более трёх бросков:
P(X \leq 3) = \frac{91}{216} \approx 0.4213