Найти вероятность того, что будет ровно два попадания

Предмет: Теория вероятностей. Раздел: Независимые события, биномиальное распределение. Задание: Найти вероятность того, что будет ровно два попадания из трёх выстрелов с заданными вероятностями для каждого выстрела.

Дано:

• Вероятность попадания при первом выстреле \( P(A_1) = 0,7 \)
• Вероятность попадания при втором выстреле \( P(A_2) = 0,8 \)
• Вероятность попадания при третьем выстреле \( P(A_3) = 0,9 \)
• Вероятность промаха при первом выстреле \( P(\overline{A_1}) = 1 - 0,7 = 0,3 \)
• Вероятность промаха при втором выстреле \( P(\overline{A_2}) = 1 - 0,8 = 0,2 \)
• Вероятность промаха при третьем выстреле \( P(\overline{A_3}) = 1 - 0,9 = 0,1 \)

Необходимо найти вероятность того, что будет ровно два попадания.

Возможные комбинации двух попаданий:

1. Попадание при первом и втором выстрелах, промах при третьем.
2. Попадание при первом и третьем выстрелах, промах при втором.
3. Попадание при втором и третьем выстрелах, промах при первом.

Рассчитаем вероятность для каждой комбинации:

1. Первая комбинация: попадание при первом и втором выстрелах, промах при третьем:

   \[ P(A_1 \cap A_2 \cap \overline{A_3}) = P(A_1) \cdot P(A_2) \cdot P(\overline{A_3}) = 0,7 \cdot 0,8 \cdot 0,1 = 0,056 \]

2. Вторая комбинация: попадание при первом и третьем выстрелах, промах при втором:

   \[ P(A_1 \cap \overline{A_2} \cap A_3) = P(A_1) \cdot P(\overline{A_2}) \cdot P(A_3) = 0,7 \cdot 0,2 \cdot 0,9 = 0,126 \]

3. Третья комбинация: попадание при втором и третьем выстрелах, промах при первом:

   \[ P(\overline{A_1} \cap A_2 \cap A_3) = P(\overline{A_1}) \cdot P(A_2) \cdot P(A_3) = 0,3 \cdot 0,8 \cdot 0,9 = 0,216 \]

Найдём итоговую вероятность:

Суммируем вероятности всех возможных комбинаций:

\[ P(\text{ровно два попадания}) = P(A_1 \cap A_2 \cap \overline{A_3}) + P(A_1 \cap \overline{A_2} \cap A_3) + P(\overline{A_1} \cap A_2 \cap A_3) \]

\[ P(\text{ровно два попадания}) = 0,056 + 0,126 + 0,216 = 0,398 \]

Ответ: Вероятность того, что будет ровно два попадания, равна 0,398.