Предмет: Теория вероятностей
Раздел: Биномиальное распределение
Задание: Стрелок делает 30 выстрелов с вероятностью попадания при отдельном выстреле \( p = 0,3 \). Необходимо найти вероятность того, что он попадет 8 раз.
Для решения задачи применим формулу биномиального распределения. Она выражает вероятность того, что событие произойдет ровно \( k \) раз при \( n \) испытаниях, если вероятность успеха в отдельном испытании равна \( p \).
Формула биномиального распределения выглядит так: \[ P(X = k) = C_n^k \cdot p^k \cdot (1 - p)^{n - k} \]
Где:
- \( P(X = k) \) — вероятность ровно \( k \) попаданий;
- \( C_n^k \) — биномиальный коэффициент, который вычисляется как: \[ C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!} \]
- \( p \) — вероятность попадания при одном выстреле (0.3);
- \( (1 - p) \) — вероятность промаха (0.7);
- \( n \) — общее количество испытаний (в данном случае 30);
- \( k \) — количество успехов (в нашем случае 8).
Считаем вероятность по формуле:
- Вычислим биномиальный коэффициент \( C_{30}^8 \): \[ C_{30}^8 = \frac{30!}{8!(30 - 8)!} = \frac{30!}{8! \cdot 22!} \]
- Для удобства, распишем только часть факториала: \[ C_{30}^8 = \frac{30 \times 29 \times 28 \times 27 \times 26 \times 25 \times 24 \times 23}{8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 5852925 \]
- Далее, подставляем в биномиальную формулу: \[ P(X = 8) = C_{30}^8 \cdot (0,3)^8 \cdot (0,7)^{22} \]
- Расчитаем отдельно каждую составляющую. \( (0,3)^8 \approx 0.00006561 \), \( (0,7)^{22} \approx 0.00127173 \)
- Теперь находим полное значение: \[ P(X = 8) = 5852925 \times 0.00006561 \times 0.00127173 \approx 0.487 \]
Ответ: Вероятность того, что при 30 выстрелах стрелок попадет ровно 8 раз, составляет примерно 0.487 или 48.7%.
Итак, \( n = 30 \), \( k = 8 \), \( p = 0,3 \), и \( 1 - p = 0,7 \).