Найти вероятность того, что бракованный прибор произведен первым заводом

Предмет: Теория вероятностей
Раздел: Формула Байеса

Решение:

Обозначим:

• Вероятности того, что случайно выбранный прибор произведен соответствующим заводом:
  P(A_1) = \frac{n_1}{n_1 + n_2 + n_3},
  P(A_2) = \frac{n_2}{n_1 + n_2 + n_3},
  P(A_3) = \frac{n_3}{n_1 + n_2 + n_3}.
• Условные вероятности брака для каждого завода:
  P(B | A_1) = p_1,
  P(B | A_2) = p_2,
  P(B | A_3) = p_3.
• Полная вероятность брака (по формуле полной вероятности):
  P(B) = P(A_1) P(B | A_1) + P(A_2) P(B | A_2) + P(A_3) P(B | A_3).

Применяя формулу Байеса, вероятность того, что бракованный прибор произведен первым заводом, равна:

 P(A_1 | B) = \frac{P(A_1) P(B | A_1)}{P(B)} 

Подставляя выражения:

 P(A_1 | B) = \frac{\frac{n_1}{n_1 + n_2 + n_3} \cdot p_1}{\frac{n_1}{n_1 + n_2 + n_3} \cdot p_1 + \frac{n_2}{n_1 + n_2 + n_3} \cdot p_2 + \frac{n_3}{n_1 + n_2 + n_3} \cdot p_3} 

Упрощаем:

 P(A_1 | B) = \frac{n_1 p_1}{n_1 p_1 + n_2 p_2 + n_3 p_3} 

Ответ:

Вероятность того, что бракованный прибор произведен первым заводом, равна:
P(A_1 | B) = \frac{n_1 p_1}{n_1 p_1 + n_2 p_2 + n_3 p_3}.