Найти вероятность суммы выпавших очков восьми, а разность четырем. б) сумма выпавших очков равна восьми, если известно, что их разность равна четырем

Условие:

2. Брошены две игральные кости. Найти вероятность следующих событий: а)сумма выпавших очков равна восьми, а разность четырем. б)сумма выпавших очков равна восьми, если известно, что их разность равна четырем.

Решение:

Данное задание относится к предмету вероятности и статистики, раздел "Теория вероятностей". Игральная кость (кубик) имеет 6 граней с числом очков от 1 до 6. При броске двух костей возможны различные комбинации значений на них. Рассмотрим все события, которые описаны в задаче.
Задание (а): Найти вероятность событий:
  • сумма выпавших очков равна восьми,
  • разность выпавших очков равна четырем.

Обозначим выпавшие очки на первой и второй костях как \( X_1 \) и \( X_2 \) соответственно.

Событие \( A \): \( X_1 + X_2 = 8 \)

Найдем все пары чисел, при которых сумма очков на двух костях равна 8:

  • \( (2, 6) \)
  • \( (3, 5) \)
  • \( (4, 4) \)
  • \( (5, 3) \)
  • \( (6, 2) \)

Таким образом, существует 5 способов получить сумму 8.

Событие \( B \): \( |X_1 - X_2| = 4 \)

Найдем все пары чисел, при которых разность очков на двух костях равна 4:

  • \( (1, 5) \)
  • \( (2, 6) \)
  • \( (5, 1) \)
  • \( (6, 2) \)

Таким образом, существует 4 способа получить разность 4.

Теперь найдем пары, которые удовлетворяют обоим условиям одновременно, то есть \( X_1 + X_2 = 8 \) и \( |X_1 - X_2| = 4 \).

Пересечение событий:

  • \( (2, 6) \)
  • \( (6, 2) \)

Таким образом, существует 2 способа, которые удовлетворяют обоим событиям.

Общее количество всех возможных исходов при броске двух костей: \( 6 \times 6 = 36 \).

Вероятность события (а):

\[ P(A \cap B) = \frac{\text{Число благоприятных исходов}}{\text{Общее число исходов}} = \frac{2}{36} = \frac{1}{18} \]

Задание (б): Найти вероятность события \( A | B \), то есть сумма выпавших очков равна восьми, если известно, что их разность равна четырем.

Для этого используем формулу условной вероятности:

\[ P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} \]

Мы уже нашли, что:

  • \( P(A \cap B) = \frac{2}{36} = \frac{1}{18} \)
  • Вероятность события \( B \) составляет:
  • Число благоприятных исходов для разности 4: 4
  • \( P(B) = \frac{4}{36} = \frac{1}{9} \)

Теперь подставляем в формулу:

\( P(A|B) = \frac{\frac{1}{18}}{\frac{1}{9}} = \frac{1}{18} \times \frac{9}{1} = \frac{1}{2} \)

Ответы:
  • (а) Вероятность, что сумма выпавших очков равна 8 и разность равна 4, составляет \( \frac{1}{18} \).
  • (б) Вероятность, что сумма выпавших очков равна 8 при условии, что их разность равна 4, составляет \( \frac{1}{2} \).
Не нашли нужного вам решения? Оставьте заявку и наши авторы быстро и качественно помогут вам с решением.
Оставить заявку
Работа вам нужна срочно. Не волнуйтесь, уложимся!

Заполните, пожалуйста, данные для автора:

  • 22423 авторов готовы помочь тебе.
  • 2402 онлайн