Найти вероятность событий: а) А - менее двух поражений; б) В - хотя бы одно попадание

Предмет: Теория вероятностей и математическая статистика
Раздел: Случайные величины. Биномиальное распределение. Математическое ожидание и дисперсия.

Условие задачи

Произведено 5 испытательных запусков ракет. Вероятность поражения цели при одном запуске равна 0.3.
Пусть случайная величина X — число поражений цели из 5 запусков.

Значит, X имеет биномиальное распределение: X \sim \mathrm{Bin}(n = 5, p = 0.3)

1. Закон распределения СВ X

Формула биномиального распределения:

 P(X = k) = \binom{n}{k} \cdot p^k \cdot (1 - p)^{n - k} 

Где:

• n = 5 — число испытаний,
• p = 0.3 — вероятность успеха (поражения цели),
• k = 0, 1, 2, 3, 4, 5 — возможные значения случайной величины X.

Посчитаем вероятности:

Для k = 0:

 P(0) = \binom{5}{0} \cdot 0.3^0 \cdot 0.7^5 = 1 \cdot 1 \cdot 0.16807 = 0.16807 

Для k = 1:

 P(1) = \binom{5}{1} \cdot 0.3^1 \cdot 0.7^4 = 5 \cdot 0.3 \cdot 0.2401 = 0.36015 

Для k = 2:

 P(2) = \binom{5}{2} \cdot 0.3^2 \cdot 0.7^3 = 10 \cdot 0.09 \cdot 0.343 = 0.3087 

Для k = 3:

 P(3) = \binom{5}{3} \cdot 0.3^3 \cdot 0.7^2 = 10 \cdot 0.027 \cdot 0.49 = 0.1323 

Для k = 4:

 P(4) = \binom{5}{4} \cdot 0.3^4 \cdot 0.7^1 = 5 \cdot 0.0081 \cdot 0.7 = 0.02835 

Для k = 5:

 P(5) = \binom{5}{5} \cdot 0.3^5 \cdot 0.7^0 = 1 \cdot 0.00243 \cdot 1 = 0.00243 

Закон распределения:

2. Математическое ожидание и дисперсия

Для биномиального распределения:

 M[X] = n \cdot p = 5 \cdot 0.3 = 1.5 

 D[X] = n \cdot p \cdot (1 - p) = 5 \cdot 0.3 \cdot 0.7 = 1.05 

3. Найти вероятность событий:

а) Событие A — менее двух поражений:

 P(X < 2) = P(0) + P(1) = 0.16807 + 0.36015 = 0.52822 

б) Событие B — хотя бы одно попадание:

 P(X \geq 1) = 1 - P(0) = 1 - 0.16807 = 0.83193 

Ответ:

• Закон распределения: см. таблицу выше.
• M[X] = 1.5, D[X] = 1.05
• а) P(A) = 0.52822
• б) P(B) = 0.83193