Найти вероятность случайных величин

Предмет: Теория вероятностей
Раздел: Геометрическая вероятность

Рассмотрим случайные величины ( x ) и ( y ), которые равномерно распределены в области:
 0 \leq x \leq 5, \quad 0 \leq y \leq 2. 

Общий объем пространства возможных значений — это площадь прямоугольника:
 S_{\text{общ}} = 5 \times 2 = 10. 

Теперь найдем вероятность того, что выполняются оба условия:

1.  x + y \leq 5 
2.  y \leq x 

Найдём область благоприятных исходов

Граничные условия:

•  x + y = 5  — это прямая, проходящая через точки (5,0) и (0,5).
•  y = x  — это прямая, проходящая через (0,0) и (2,2) (так как  y \leq 2 ).

Область благоприятных исходов — это треугольник с вершинами:

• (2,2) — пересечение  y = x  и  y = 2 .
• (3,2) — пересечение  x + y = 5  и  y = 2 .
• (5,0) — пересечение  x + y = 5  и  y = 0 .

Площадь этого треугольника:
 S_{\text{благ}} = \frac{1}{2} \times \text{основание} \times \text{высоту} = \frac{1}{2} \times (5-2) \times 2 = \frac{1}{2} \times 3 \times 2 = 3. 

Вероятность события

 P = \frac{S_{\text{благ}}}{S_{\text{общ}}} = \frac{3}{10} = 0.3. 

Ответ: 0.3 (или 30%).