Найти вероятность следующих событий: а) оба жетона с нечетными номерами; б) хотя бы один жетон с нечетным номером; в) один жетон с четным номером

Предмет: Теория вероятностей и математическая статистика (ТВиМС)
Раздел: Классическое определение вероятности, комбинаторика

Условие задачи:

В коробке находятся жетоны с цифрами от 1 до 10. Наугад извлекаются два жетона. Требуется найти вероятность следующих событий:

а) оба жетона с нечетными номерами;
б) хотя бы один жетон с нечетным номером;
в) один жетон с четным номером.

Рассмотрим общее количество способов выбрать 2 жетона из 10:

C_{10}^{2} = \frac{10 \cdot 9}{2} = 45

а) Оба жетона с нечетными номерами

Нечетные номера: 1, 3, 5, 7, 9 — всего 5 штук.

Число благоприятных исходов — выбрать 2 нечетных из 5:

C_{5}^{2} = \frac{5 \cdot 4}{2} = 10

Вероятность:

P_1 = \frac{10}{45} = \frac{2}{9}

б) Хотя бы один жетон с нечетным номером

Воспользуемся методом дополнения:
Найдем вероятность противоположного события — оба жетона с четными номерами, и вычтем из 1.

Четные номера: 2, 4, 6, 8, 10 — всего 5 штук.

Число способов выбрать 2 четных:

C_{5}^{2} = 10

Вероятность того, что оба жетона четные:

P_{\text{оба четные}} = \frac{10}{45} = \frac{2}{9}

Тогда вероятность того, что хотя бы один нечетный:

P_2 = 1 - \frac{2}{9} = \frac{7}{9}

в) Один жетон с четным номером

Это означает, что один жетон четный, а другой — нечетный.

Количество четных: 5
Количество нечетных: 5

Число способов выбрать 1 четный и 1 нечетный жетон:

5 \cdot 5 = 25

(т.к. выбираем 1 из 5 четных и 1 из 5 нечетных)

Общее число исходов: 45

Вероятность:

P_3 = \frac{25}{45} = \frac{5}{9}

Ответ:

а) \frac{2}{9}
б) \frac{7}{9}
в) \frac{5}{9}