Найти вероятность попадания случайной величины ( X ) в интервал

Определение предмета и раздела

Предмет: Теория вероятностей и математическая статистика
Раздел: Распределение случайных величин

Дано:

Функция распределения вероятностей ( F(x) ) задана следующим образом:

 F(x) = \begin{cases} 0, & x \leq 0 \ \frac{1}{27}x^3 + \frac{2}{9}x, & 0 < x \leq 3 \ 1, & x > 3 \end{cases} 

Требуется:
а) Найти вероятность попадания случайной величины ( X ) в интервал ( [a, b] ).
б) Найти плотность распределения вероятностей случайной величины ( X ).
в) Найти математическое ожидание случайной величины ( X ).

Решение

а) Вероятность попадания случайной величины ( X ) в интервал ( [a, b] )

По определению, вероятность попадания случайной величины ( X ) в интервал ( [a, b] ) вычисляется как:

 P(a \leq X \leq b) = F(b) - F(a) 

Где ( F(x) ) — функция распределения.

б) Плотность распределения вероятностей ( f(x) )

Плотность вероятности ( f(x) ) — это производная функции распределения:

 f(x) = \frac{d}{dx} F(x) 

Для ( 0 < x \leq 3 ):

 f(x) = \frac{d}{dx} \left( \frac{1}{27}x^3 + \frac{2}{9}x \right) 

Вычислим производную:

 f(x) = \frac{3}{27}x^2 + \frac{2}{9} = \frac{1}{9}x^2 + \frac{2}{9}, \quad 0 < x \leq 3 

Для ( x \leq 0 ) и ( x > 3 ), плотность вероятности равна нулю:

 f(x) = \begin{cases} 0, & x \leq 0 \ \frac{1}{9}x^2 + \frac{2}{9}, & 0 < x \leq 3 \ 0, & x > 3 \end{cases} 

в) Математическое ожидание ( E[X] )

Математическое ожидание определяется как:

 E[X] = \int_{-\infty}^{\infty} x f(x) \,dx 

Так как ( f(x) ) ненулевая только на ( (0,3] ), интеграл принимает вид:

 E[X] = \int_{0}^{3} x \left( \frac{1}{9}x^2 + \frac{2}{9} \right) dx 

Вычислим интеграл:

 E[X] = \int_{0}^{3} \left( \frac{1}{9}x^3 + \frac{2}{9}x \right) dx 

Интегрируем:

 E[X] = \left[ \frac{1}{9} \cdot \frac{x^4}{4} + \frac{2}{9} \cdot \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{3} 

Подставляем пределы:

 E[X] = \left( \frac{1}{9} \cdot \frac{81}{4} + \frac{2}{9} \cdot \frac{9}{2} \right) - 0 

 E[X] = \left( \frac{81}{36} + \frac{18}{18} \right) = \frac{9}{4} + 1 = \frac{13}{4} = 3.25 

Ответы:

а) ( P(a \leq X \leq b) = F(b) - F(a) )
б) ( f(x) = \frac{1}{9}x^2 + \frac{2}{9}, \quad 0 < x \leq 3 )
в) ( E[X] = \frac{13}{4} = 3.25 )