Найти вероятность отказа прибора

Это задание из предмета "Теория вероятностей".

В данном задании рассматривается вероятность отказа прибора, состоящего из 8 элементов, из которых минимум 6 должны быть исправны для работы прибора. Обозначим вероятность исправности каждого элемента буквой \( p = 0.2 \). Следовательно, вероятность неисправности элемента будет \( q = 1 - p = 0.8 \). Нам нужно найти вероятность того, что не менее 3 элементов (8 - 6 = 2, значит 2 элемента могут быть неисправны) выйдут из строя, т.е. вероятность отказа прибора. Эту задачу мы будем решать с использованием биномиального распределения: \[ P(X = k) = C^k_n \cdot p^k \cdot (1 - p)^{n - k}, \] где:

• \( n \) – общее количество испытаний (в данном случае элементов),
• \( k \) – количество неисправных элементов,
• \( C^k_n \) – биномиальный коэффициент, который вычисляется как \( \frac{n!}{k! (n - k)!} \).

Чтобы прибор отказал, неисправными могут быть 3, 4, 5, 6, 7 и 8 элементов. Нам нужно найти сумму вероятностей для этих случаев.

1. Вероятность, что отказали 3 элемента: \[ P(X = 3) = C^{3}_{8} \cdot (0.8)^3 \cdot (0.2)^{5} \] \[ = \frac{8!}{3! \cdot 5!} \cdot (0.8)^3 \cdot (0.2)^5 \] \[ = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6}{3 \cdot 2 \cdot 1} \cdot (0.8)^3 \cdot (0.2)^5 \] \[ = 56 \cdot (0.512) \cdot (0.00032) \] \[ = 56 \cdot 0.00016384 \] \[ = 0.0092 \]
2. Повторим аналогичное для других случаев: \[ P(X = 4) = C^{4}_{8} \cdot (0.8)^4 \cdot (0.2)^{4} \] \[ = \frac{8!}{4! \cdot 4!} \cdot (0.8)^4 \cdot (0.2)^4 \] \[ = 70 \cdot (0.4096) \cdot (0.0016) \] \[ = 0.0460 \]
3. \[ P(X = 5) = C^{5}_{8} \cdot (0.8)^5 \cdot (0.2)^{3} \] \[ = \frac{8!}{5! \cdot 3!} \cdot (0.8)^5 \cdot (0.2)^3 \] \[ = 56 \cdot (0.32768) \cdot (0.008) \] \[ = 0.146 \]
4. \[ P(X = 6) = C^{6}_{8} \cdot (0.8)^6 \cdot (0.2)^2 \] \[ = \frac{8!}{6! \cdot 2!} \cdot (0.8)^6 \cdot (0.2)^2 \] \[ = 28 \cdot (0.262144) \cdot (0.04) \] \[ = 0.294 \]
5. \[ P(X = 7) = C^{7}_{8} \cdot (0.8)^7 \cdot (0.2)^1 \] \[ = \frac{8!}{7! \cdot 1!} \cdot (0.8)^7 \cdot (0.2) \] \[ = 8 \cdot (0.2097152) \cdot (0.2) \] \[ = 0.336 \]
6. \[ P(X = 8) = C^{8}_{8} \cdot (0.8)^8 \cdot (0.2)^0 \] \[ = \frac{8!}{8! \cdot 0!} \cdot (0.8)^8 \cdot (1) \] \[ = 1 \cdot (0.16777216) \cdot (1) \] \[ = 0.168 \]

Теперь суммируем все полученные вероятности: \[ P(отказа) = P(3) + P(4) + P(5) + P(6) + P(7) + P(8) \] \[ = 0.0092 + 0.0460 + 0.146 + 0.294 + 0.336 + 0.168 \] \[ = 0.9992 \]

Итак, вероятность отказа прибора составляет приближается к 1 (или 0.9992), то есть почти 100%.