Найти вероятность отказа не менее двух элементов

Предмет: Теория вероятностей
Раздел: Схемы испытаний, биномиальное и пуассоновское распределения, приближения вероятностей

Задача 9.5

Условие:
Аппаратура состоит из 1000 элементов. Вероятность отказа одного элемента за время T равна 0{,}001 и не зависит от работы других элементов. Найти вероятность отказа не менее двух элементов.

Решение:

Пусть:

• n = 1000 — количество элементов,
• p = 0{,}001 — вероятность отказа одного элемента,
• X — число отказавших элементов.

Так как n велико, а p мало, можно использовать распределение Пуассона как приближение биномиального распределения:

X \sim \text{Pois}(\lambda), где \lambda = np = 1000 \cdot 0{,}001 = 1.

Найти вероятность отказа не менее двух элементов:

P(X \ge 2) = 1 - P(X = 0) - P(X = 1)

Используем формулу Пуассона:

P(X = k) = \frac{\lambda^k}{k!} e^{-\lambda}

Тогда:

 \begin{align*} P(X \ge 2) &= 1 - \left( \frac{1^0}{0!} e^{-1} + \frac{1^1}{1!} e^{-1} \right) \ &= 1 - \left(1 + 1\right) e^{-1} \ &= 1 - 2e^{-1} \ &\approx 1 - 2 \cdot 0{,}3679 = 1 - 0{,}7358 = 0{,}2642 \end{align*} 

Ответ: P(X \ge 2) \approx 0{,}2642

Задача 9.6

Условие:
Вероятность попадания в цель при одном выстреле равна 0{,}4. Найти вероятность того, что из 320 выстрелов будет:
а) 100 попаданий;
б) от 240 до 260 попаданий.

Решение:

Пусть:

• n = 320 — число выстрелов,
• p = 0{,}4 — вероятность попадания,
• X — количество попаданий, тогда X \sim \text{Bin}(n=320, p=0{,}4).

Так как n велико, используем нормальное приближение к биномиальному распределению:

 X \approx \mathcal{N}(\mu, \sigma^2), \quad \mu = np = 128, \quad \sigma = \sqrt{np(1-p)} = \sqrt{320 \cdot 0{,}4 \cdot 0{,}6} \approx 8{,}78 

а) Вероятность 100 попаданий

Используем непрерывную поправку:
P(X = 100) \approx P(99{,}5 < X < 100{,}5)

Стандартизируем:

 Z_1 = \frac{99{,}5 - 128}{8{,}78} \approx -3{,}25, \quad Z_2 = \frac{100{,}5 - 128}{8{,}78} \approx -3{,}13 

По таблице стандартного нормального распределения:

 P(99{,}5 < X < 100{,}5) \approx \Phi(-3{,}13) - \Phi(-3{,}25) \approx 0{,}0009 - 0{,}0006 = 0{,}0003 

Ответ: \boxed{P(X = 100) \approx 0{,}0003}

б) Попаданий от 240 до 260

Ищем P(240 \le X \le 260). Используем поправку:

P(239{,}5 < X < 260{,}5)

Стандартизируем:

 Z_1 = \frac{239{,}5 - 128}{8{,}78} \approx 12{,}7, \quad Z_2 = \frac{260{,}5 - 128}{8{,}78} \approx 15{,}1 

Такие значения Z лежат далеко за пределами основной области нормального распределения. Вероятность нахождения X в этом диапазоне практически равна нулю.

Ответ: \boxed{P(240 \le X \le 260) \approx 0}

Если будут дополнительные вопросы — с радостью помогу!