Найти вероятность нормальной работы автобазы в ближайший день

Предмет: Теория вероятностей

Раздел предмета: Биномиальное распределение

Решение:

Здесь мы имеем дело с ситуацией, в которой нужно определить вероятность количества успешных исходов в серии независимых испытаний (выхода машин на работу). Каждая из машин выходит на работу с вероятностью 0,8. Нам нужно найти вероятность того, что не менее 6 машин выйдут на работу. Мы будем использовать биномиальное распределение, так как у нас есть \( n \) независимых испытаний, каждое из которых имеет два возможных исхода — успех (машина вышла на работу) с вероятностью \( p \) и неудача (машина не вышла на работу) с вероятностью \( 1 - p \).

1. Обозначения и параметры задачи:

• \( n = 8 \) — общее количество машин.
• \( p = 0,8 \) — вероятность выхода одной машины на работу.
• \( k \) — количество машин, которые выйдут на работу. Нам нужно, чтобы \( k \) было не менее 6.

2. Формула биномиального распределения:

\[ P(X = k) = \binom{n}{k} \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k} \] где \(\binom{n}{k}\) — биномиальный коэффициент, который показывает количество способов выбрать \( k \) из \( n \) возможных: \[ \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!} \]

3. Вычисление вероятностей:

Нам нужна суммарная вероятность того, что на работу выйдут 6, 7 или 8 машин: \[ P(X \geq 6) = P(X = 6) + P(X = 7) + P(X = 8) \] Будем вычислять каждую из этих вероятностей по отдельности.

Шаг 1: Вычислим \( P(X = 6) \): \[ P(X = 6) = \binom{8}{6} \cdot (0.8)^6 \cdot (0.2)^2 \] \[ \binom{8}{6} = \frac{8!}{6!2!} = \frac{8 \cdot 7}{2 \cdot 1} = 28 \] \[ P(X = 6) = 28 \cdot (0.8)^6 \cdot (0.2)^2 \approx 28 \cdot 0.262144 \cdot 0.04 \approx 0.2936 \]

Шаг 2: Вычислим \( P(X = 7) \): \[ P(X = 7) = \binom{8}{7} \cdot (0.8)^7 \cdot (0.2)^1 \] \[ \binom{8}{7} = \frac{8!}{7!1!} = 8 \] \[ P(X = 7) = 8 \cdot (0.8)^7 \cdot 0.2 \approx 8 \cdot 0.2097152 \cdot 0.2 \approx 0.3355 \]

Шаг 3: Вычислим \( P(X = 8) \): \[ P(X = 8) = \binom{8}{8} \cdot (0.8)^8 \cdot (0.2)^0 \] \[ \binom{8}{8} = 1 \] \[ P(X = 8) = 1 \cdot (0.8)^8 \cdot 1 \approx 1 \cdot 0.16777216 \approx 0.1678 \]

Шаг 4: Суммируем результаты: \[ P(X \geq 6) = P(X = 6) + P(X = 7) + P(X = 8) \] \[ P(X \geq 6) \approx 0.2936 + 0.3355 + 0.1678 \approx 0.797 \]

Таким образом, вероятность того, что на работу выйдут не менее 6 машин, составляет примерно 0.797 (или 79.7%).