Найти вероятность нахождения определенного количества объектов первого сорта среди изготовленных телефонов

Определение предмета и раздела

Данное задание относится к математике, а именно к теории вероятностей и статистике. Речь идет о вероятности нахождения определенного количества объектов первого сорта среди изготовленных телефонов.

Решение задачи

Шаг 1. Определение условий задачи.

• Доля телефонных аппаратов первого сорта из общего числа равна \(\frac{3}{5}\).
• Общее количество аппаратов в партии \(N = 150\).
• Нужно найти наиболее вероятное количество аппаратов первого сорта в изготовленной партии, а затем вероятность того, что это количество соответствует ожиданиям.

Шаг 2. Использование биномиального распределения.

Задача непосредственно связана с понятием биномиального распределения. Формула биномиального распределения выглядит так:

\[ P(k) = C^k_n \cdot p^k \cdot (1 - p)^{n-k} \]

Где:

• \(C^k_n\) — число сочетаний из \(n\) элементов по \(k\),
• \(p\) — вероятность выбрать аппарат первого сорта \(p = \frac{3}{5}\),
• \(n = 150\) — общее количество аппаратов,
• \(k\) — количество аппаратов первого сорта.

Нужно найти такое число \(k\), при котором вероятность максимальна.

Шаг 3. Использование закона больших чисел.

Так как у нас \(n\) достаточно велико (150 аппаратов), мы можем воспользоваться законом больших чисел: наиболее вероятное значение количества аппаратов первого сорта будет близко к математическому ожиданию. Математическое ожидание для биномиального распределения можно найти по формуле:

\[ M(k) = n \cdot p \]

Подставим наши значения: \(n = 150\), \(p = \frac{3}{5}\):

\[ M(k) = 150 \cdot \frac{3}{5} = 90 \]

То есть, наиболее вероятное количество аппаратов первого сорта в партии — 90.

Шаг 4. Нахождение вероятности.

Вероятность того, что в изготовленной партии окажется ровно 90 аппаратов первого сорта, можно найти с использованием формулы нормального приближения к биномиальному распределению. Для этого необходимо рассчитать параметры нормального распределения: математическое ожидание \(M(k)\) и дисперсию \(D(k)\).

Дисперсия биномиального распределения вычисляется по формуле:

\[ D(k) = n \cdot p \cdot (1 - p) \]

Подставим наши значения:

\[ D(k) = 150 \cdot \frac{3}{5} \cdot \left(1 - \frac{3}{5}\right) = 150 \cdot \frac{3}{5} \cdot \frac{2}{5} = 36 \]

Стандартное отклонение равно квадратному корню из дисперсии:

\[ \sigma(k) = \sqrt{36} = 6 \]

Ответ: Наиболее вероятное количество аппаратов первого сорта в изготовленной партии — 90. Вероятность этого события приближается к 0.4.

Согласно аппроксимации нормального распределения, наиболее вероятное количество будет находиться на расстоянии не более одного стандартного отклонения от ожидания \(M(k)\), то есть около 90. Вероятность того, что наибольшее количество — это 90, можно интерпретировать как наиболее вероятное событие в этой области, что соответствует около 0.4 (по теории стандартных нормальных распределений).