Найти вероятность, что некоторое изделие, изготовленное бригадой, окажется бракованным

Предмет: Теория вероятностей и математическая статистика.

Раздел: Формула полной вероятности.

Дано:

• В бригаде 8 рабочих и 2 ученика.
• Вероятность изготовить бракованное изделие для рабочего составляет \( P(\text{брак у рабочего}) = 0,05 \), для ученика \( P(\text{брак у ученика}) = 0,2 \).
• Производительность рабочего в 2 раза выше, чем у ученика.

Нужно найти общую вероятность \( P(\text{брак}) \) того, что произведённое изделие окажется бракованным.

Решение:

Для этого надо использовать формулу полной вероятности:

\[ P(\text{брак}) = P(\text{брак у рабочего}) \cdot P(\text{изготовил рабочий}) + P(\text{брак у ученика}) \cdot P(\text{изготовил ученик}) \]

Шаг 1. Найдём вероятности, что изделие изготовил рабочий или ученик.

Так как производительность рабочего в 2 раза выше, чем у ученика, то на долю каждого рабочего приходится больше изделий. Пусть производительность ученика равна \( x \), тогда производительность рабочего — \( 2x \).

• Суммарная производительность рабочих: \( 8 \cdot 2x = 16x \).
• Суммарная производительность учеников: \( 2 \cdot x = 2x \).

Общая производительность всей бригады: \[ 16x + 2x = 18x \]

Теперь вероятность того, что изделие изготовил рабочий: \[ P(\text{рабочий}) = \frac{16x}{18x} = \frac{16}{18} = \frac{8}{9} \]

Вероятность того, что изделие изготовил ученик: \[ P(\text{ученик}) = \frac{2x}{18x} = \frac{2}{18} = \frac{1}{9} \]

Шаг 2. Подставляем в формулу полной вероятности:

\[ P(\text{брак}) = P(\text{брак у рабочего}) \cdot P(\text{рабочий}) + P(\text{брак у ученика}) \cdot P(\text{ученик}) \]

\[ P(\text{брак}) = 0,05 \cdot \frac{8}{9} + 0,2 \cdot \frac{1}{9} \]

Рассчитаем отдельно оба слагаемых:

1. \( 0,05 \cdot \frac{8}{9} = \frac{0,4}{9} \)
2. \( 0,2 \cdot \frac{1}{9} = \frac{0,2}{9} \)

Теперь сложим: \[ P(\text{брак}) = \frac{0,4 + 0,2}{9} = \frac{0,6}{9} = 0,0667 \]

Ответ:

Вероятность того, что изделие окажется бракованным, равна \( 0,0667 \) или 6,67%.