Найти вероятность, что: а) трое из них родились 1 апреля, б) не более трёх родились 1 апреля

Предмет: Теория вероятностей и математическая статистика (ТВиМС)
Раздел: Схемы испытаний, биномиальное распределение

Задание 10:

В школе 750 учащихся. Найти вероятность, что: а) трое из них родились 1 апреля,
б) не более трёх родились 1 апреля.

Анализ задачи

Пусть случайная величина [X] — число учащихся, родившихся 1 апреля.
Предположим, что вероятность рождения 1 апреля для каждого ученика одинакова и равна [p = \frac{1}{365}] (игнорируем високосные годы).

Тогда [X] — биномиальная случайная величина с параметрами:

• [n = 750] — общее число учащихся,
• [p = \frac{1}{365}] — вероятность рождения 1 апреля.

Используем биномиальное распределение:

 P(X = k) = \binom{n}{k} \cdot p^k \cdot (1 - p)^{n - k} 

а) Вероятность того, что трое родились 1 апреля: [P(X = 3)]

Подставим значения:

 P(X = 3) = \binom{750}{3} \cdot \left(\frac{1}{365}\right)^3 \cdot \left(1 - \frac{1}{365}\right)^{747} 

Вычислим по шагам:

1. \binom{750}{3} = \frac{750 \cdot 749 \cdot 748}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 70018700
2. \left(\frac{1}{365}\right)^3 ≈ 2.05 \cdot 10^{-8}
3. \left(1 - \frac{1}{365}\right)^{747} ≈ e^{-\frac{747}{365}} ≈ e^{-2.0479} ≈ 0.129

Теперь перемножим:

 P(X = 3) ≈ 70018700 \cdot 2.05 \cdot 10^{-8} \cdot 0.129 ≈ 0.185 

Ответ а): [P(X = 3) \approx 0.185]

б) Вероятность, что не более трёх родились 1 апреля:

То есть [P(X \leq 3) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3)]

Рассчитаем по формуле для каждого значения:

1. [P(X = 0)]

 P(X = 0) = \binom{750}{0} \cdot p^0 \cdot (1 - p)^{750} = (1) \cdot (1) \cdot \left(1 - \frac{1}{365}\right)^{750} 

 P(X = 0) ≈ e^{-750/365} ≈ e^{-2.0548} ≈ 0.128 

2. [P(X = 1)]

 P(X = 1) = \binom{750}{1} \cdot p \cdot (1 - p)^{749} = 750 \cdot \frac{1}{365} \cdot \left(1 - \frac{1}{365}\right)^{749} 

 750 \cdot \frac{1}{365} ≈ 2.055, \quad \left(1 - \frac{1}{365}\right)^{749} ≈ e^{-2.052} ≈ 0.128 

 P(X = 1) ≈ 2.055 \cdot 0.128 ≈ 0.263 

3. [P(X = 2)]

 P(X = 2) = \binom{750}{2} \cdot p^2 \cdot (1 - p)^{748} 

 \binom{750}{2} = \frac{750 \cdot 749}{2} = 280875, \quad p^2 = \left(\frac{1}{365}\right)^2 ≈ 7.51 \cdot 10^{-6} 

 (1 - p)^{748} ≈ e^{-2.05} ≈ 0.129 

 P(X = 2) ≈ 280875 \cdot 7.51 \cdot 10^{-6} \cdot 0.129 ≈ 0.272 

4. [P(X = 3)] (уже считали выше):

[P(X = 3) \approx 0.185]

Теперь сложим:

 P(X \leq 3) ≈ 0.128 + 0.263 + 0.272 + 0.185 = 0.848 

Ответы:

а) [P(X = 3) \approx 0.185]
б) [P(X \leq 3) \approx 0.848]