Найти вероятность безотказной работы устройства

Предмет: Теория вероятностей

Раздел: Надежность систем

Решение:

Исходное устройство состоит из 3 независимых элементов, вероятность безотказной работы каждого из которых равна P_1, P_2 и P_3. Так как отказ любого элемента приводит к отказу устройства, вероятность безотказной работы устройства до модернизации вычисляется как:

 P_{\text{стар}} = P_1 \cdot P_2 \cdot P_3 

После модернизации каждый элемент дублируется, а вероятность безотказной работы дублирующего элемента равна P_4. Теперь каждый элемент работает по схеме отказоустойчивости "или", то есть система работает, если хотя бы один из двух элементов (основной или дублирующий) работает. Вероятность безотказной работы одного узла теперь определяется как:

 P_{\text{нов}} = 1 - (1 - P_i)(1 - P_4) 

где P_i — вероятность безотказной работы основного элемента.

Тогда вероятность безотказной работы всего устройства после модернизации:

 P_{\text{нов}} = (1 - (1 - P_1)(1 - P_4)) \cdot (1 - (1 - P_2)(1 - P_4)) \cdot (1 - (1 - P_3)(1 - P_4)) 

Отношение вероятностей безотказной работы нового и старого устройства:

 K = \frac{P_{\text{нов}}}{P_{\text{стар}}} 

Подставляя значения P_1 = 0.3, P_2 = 0.4, P_3 = 0.6 и P_4 = 0.7, вычисляем:

 P_{\text{стар}} = 0.3 \cdot 0.4 \cdot 0.6 = 0.072 

 P_1' = 1 - (1 - 0.3)(1 - 0.7) = 1 - 0.7 \cdot 0.3 = 1 - 0.21 = 0.79 

 P_2' = 1 - (1 - 0.4)(1 - 0.7) = 1 - 0.6 \cdot 0.3 = 1 - 0.18 = 0.82 

 P_3' = 1 - (1 - 0.6)(1 - 0.7) = 1 - 0.4 \cdot 0.3 = 1 - 0.12 = 0.88 

 P_{\text{нов}} = 0.79 \cdot 0.82 \cdot 0.88 = 0.5705 

Теперь находим во сколько раз увеличилась вероятность безотказной работы:

 K = \frac{0.5705}{0.072} \approx 7.93 

Ответ: вероятность безотказной работы устройства увеличилась примерно в 7.93 раза.