Найти вероятность

Эта задача относится к теории вероятностей и разделу биномиального распределения (иногда также применяется нормальное приближение биномиального распределения для больших значений параметра).

Здесь рассматривается случай, где биномиальная случайная величина \( m \) может принимать целочисленные значения, и ее параметры описаны как \( n \) и \( p \). Давай разберем пошагово записанное решение:

Дано:

• \( n = 400 \) — это общее количество испытаний (например, количество попыток).
• \( p = 0.8 \) — это вероятность успеха в одном испытании.
• \( m \) — это случайная величина, которая обозначает количество успехов в 400 испытаниях.

Условие:

Задача состоит в нахождении вероятности того, что \( m \) находится в пределах от 250 до 400, т.е. \( P_{400}(250 \leq m \leq 400) \). Для этого используется нормальное приближение биномиального распределения. Формула для нормального приближения выглядит следующим образом:

\[ P(a \leq m \leq b) = \Phi(K_2) - \Phi(K_1) \]

где:

• \( \Phi(K) \) — функция стандартного нормального распределения.
• \( K_1 \) и \( K_2 \) — это значения стандартизированных переменных, которые нужно найти.

Шаг 1: Нахождение \( K_1 \)

\[ K_1 = \frac{250 - n \cdot p}{\sqrt{n \cdot p \cdot (1 - p)}} = \frac{250 - 400 \cdot 0.8}{\sqrt{400 \cdot 0.8 \cdot 0.2}} \]

Расчет числителя: \[ 250 - 400 \cdot 0.8 = 250 - 320 = -70 \]

Расчет знаменателя: \[ \sqrt{400 \cdot 0.8 \cdot 0.2} = \sqrt{64} = 8 \]

Теперь подставляем в формулу для \( K_1 \):

\[ K_1 = \frac{-70}{8} = -8.75 \]

Шаг 2: Нахождение \( K_2 \)

\[ K_2 = \frac{400 - 400 \cdot 0.8}{\sqrt{400 \cdot 0.8 \cdot 0.2}} = \frac{400 - 320}{\sqrt{400 \cdot 0.8 \cdot 0.2}} \]

Расчет числителя: \[ 400 - 320 = 80 \]

Подставляем уже известное значение знаменателя: \[ K_2 = \frac{80}{8} = 10 \]

Шаг 3: Нахождение вероятности

Теперь подставляем полученные значения \( K_1 \) и \( K_2 \) в формулу для нахождения вероятности:

\[ P_{400}(250 \leq m \leq 400) = \Phi(10) - \Phi(-8.75) \]

Значения функции нормального распределения \( \Phi(x) \) для больших значений аргумента:

• \( \Phi(10) \approx 0.5000 \) (так как значения функции распределения для положительного аргумента уже стремятся к 1).
• \( \Phi(-8.75) \approx 0.5000 \).

Окончательно: \[ P_{400}(250 \leq m \leq 400) = 0.5000 + 0.5000 = 1 \]

Ответ:

Вероятность \( P_{400}(250 \leq m \leq 400) = 1 \), что означает, что практически наверняка количество успешных исходов будет находиться в пределах от 250 до 400.