Найти вероятность

Эта задача относится к теории вероятностей и разделу биномиального распределения (иногда также применяется нормальное приближение биномиального распределения для больших значений параметра).

Здесь рассматривается случай, где биномиальная случайная величина $\text{(}m\text{)}$ может принимать целочисленные значения, и ее параметры описаны как $\text{(}n\text{)}$ и $\text{(}p\text{)}$. Давай разберем пошагово записанное решение:

Дано:

• $\text{(}n=400\text{)}$ — это общее количество испытаний (например, количество попыток).
• $\text{(}p=0.8\text{)}$ — это вероятность успеха в одном испытании.
• $\text{(}m\text{)}$ — это случайная величина, которая обозначает количество успехов в 400 испытаниях.

Условие:

Задача состоит в нахождении вероятности того, что $\text{(}m\text{)}$ находится в пределах от 250 до 400, т.е. $\text{(}{P}_{400}(250\le m\le 400)\text{)}$. Для этого используется нормальное приближение биномиального распределения. Формула для нормального приближения выглядит следующим образом:

$\text{[}P(a\le m\le b)=\mathrm{\Phi }(K_2)-\mathrm{\Phi }(K_1)\text{]}$

где:

• $\text{(}\mathrm{\Phi }(K)\text{)}$ — функция стандартного нормального распределения.
• $\text{(}{K}_1\text{)}$ и $\text{(}{K}_2\text{)}$ — это значения стандартизированных переменных, которые нужно найти.

Шаг 1: Нахождение $\text{(}{K}_1\text{)}$

$\text{[}{K}_1=\frac{250-n\cdot p}{\sqrt{n\cdot p\cdot (1-p)}}=\frac{250-400\cdot 0.8}{\sqrt{400\cdot 0.8\cdot 0.2}}\text{]}$

Расчет числителя: $\text{[}250-400\cdot 0.8=250-320=-70\text{]}$

Расчет знаменателя: $\text{[}\sqrt{400\cdot 0.8\cdot 0.2}=\sqrt{64}=8\text{]}$

Теперь подставляем в формулу для $\text{(}{K}_1\text{)}$:

$\text{[}{K}_1=\frac{-70}{8}=-8.75\text{]}$

Шаг 2: Нахождение $\text{(}{K}_2\text{)}$

$\text{[}{K}_2=\frac{400-400\cdot 0.8}{\sqrt{400\cdot 0.8\cdot 0.2}}=\frac{400-320}{\sqrt{400\cdot 0.8\cdot 0.2}}\text{]}$

Расчет числителя: $\text{[}400-320=80\text{]}$

Подставляем уже известное значение знаменателя: $\text{[}{K}_2=\frac{80}{8}=10\text{]}$

Шаг 3: Нахождение вероятности

Теперь подставляем полученные значения $\text{(}{K}_1\text{)}$ и $\text{(}{K}_2\text{)}$ в формулу для нахождения вероятности:

$\text{[}{P}_{400}(250\le m\le 400)=\mathrm{\Phi }(10)-\mathrm{\Phi }(-8.75)\text{]}$

Значения функции нормального распределения $\text{(}\mathrm{\Phi }(x)\text{)}$ для больших значений аргумента:

• $\text{(}\mathrm{\Phi }(10)\approx 0.5000\text{)}$ (так как значения функции распределения для положительного аргумента уже стремятся к 1).
• $\text{(}\mathrm{\Phi }(-8.75)\approx 0.5000\text{)}$.

Окончательно: $\text{[}{P}_{400}(250\le m\le 400)=0.5000+0.5000=1\text{]}$

Ответ:

Вероятность $\text{(}{P}_{400}(250\le m\le 400)=1\text{)}$, что означает, что практически наверняка количество успешных исходов будет находиться в пределах от 250 до 400.