Найти вероятность

Эта задача относится к теории вероятностей и разделу биномиального распределения (иногда также применяется нормальное приближение биномиального распределения для больших значений параметра).

Здесь рассматривается случай, где биномиальная случайная величина \(m\) может принимать целочисленные значения, и ее параметры описаны как \(n\) и \(p\). Давай разберем пошагово записанное решение:

Дано:
  • \(n=400\) — это общее количество испытаний (например, количество попыток).
  • \(p=0.8\) — это вероятность успеха в одном испытании.
  • \(m\) — это случайная величина, которая обозначает количество успехов в 400 испытаниях.
Условие:

Задача состоит в нахождении вероятности того, что \(m\) находится в пределах от 250 до 400, т.е. \(P400(250m400)\). Для этого используется нормальное приближение биномиального распределения. Формула для нормального приближения выглядит следующим образом:

\[P(amb)=Φ(K2)Φ(K1)\]

где:

  • \(Φ(K)\) — функция стандартного нормального распределения.
  • \(K1\) и \(K2\) — это значения стандартизированных переменных, которые нужно найти.
Шаг 1: Нахождение \(K1\)

\[K1=250npnp(1p)=2504000.84000.80.2\]

Расчет числителя: \[2504000.8=250320=70\]

Расчет знаменателя: \[4000.80.2=64=8\]

Теперь подставляем в формулу для \(K1\):

\[K1=708=8.75\]

Шаг 2: Нахождение \(K2\)

\[K2=4004000.84000.80.2=4003204000.80.2\]

Расчет числителя: \[400320=80\]

Подставляем уже известное значение знаменателя: \[K2=808=10\]

Шаг 3: Нахождение вероятности

Теперь подставляем полученные значения \(K1\) и \(K2\) в формулу для нахождения вероятности:

\[P400(250m400)=Φ(10)Φ(8.75)\]

Значения функции нормального распределения \(Φ(x)\) для больших значений аргумента:

  • \(Φ(10)0.5000\) (так как значения функции распределения для положительного аргумента уже стремятся к 1).
  • \(Φ(8.75)0.5000\).

Окончательно: \[P400(250m400)=0.5000+0.5000=1\]

Ответ:

Вероятность \(P400(250m400)=1\), что означает, что практически наверняка количество успешных исходов будет находиться в пределах от 250 до 400.

Не нашли нужного вам решения? Оставьте заявку и наши авторы быстро и качественно помогут вам с решением.
Оставить заявку
Работа вам нужна срочно. Не волнуйтесь, уложимся!

Узнайте стоимость работы онлайн

  • 22423 авторов готовы помочь тебе.
  • 2402 онлайн
Напишем БЕСПЛАТНО любую работу за 30 минут