Найти условную вероятность того, что случайно выбранное изделие произведено первой машиной, если известно, что оно дефектное

Задача относится к области теории вероятностей, а конкретнее — к теме "Условная вероятность" и использованию теоремы Байеса.

Решение:

Шаг 1. Обозначим события:

• \( A_1 \): изделие произведено первой машиной;
• \( A_2 \): изделие произведено второй машиной;
• \( A_3 \): изделие произведено третьей машиной;
• \( B \): изделие оказалось дефектным.

Нам требуется найти условную вероятность \( P(A_1|B) \) того, что случайно выбранное изделие произведено первой машиной, если известно, что оно дефектное.

Шаг 2. Запишем известные данные:

• Вероятность того, что изделие изготовлено первой машиной: \( P(A_1) = 0.30 \) (30 %);
• Вероятность того, что изделие изготовлено второй машиной: \( P(A_2) = 0.45 \) (45 %);
• Вероятность того, что изделие изготовлено третьей машиной: \( P(A_3) = 0.25 \) (25 %);
• Вероятность того, что изделие, произведенное первой машиной, дефектно: \( P(B|A_1) = 0.02 \) (2 %);
• Вероятность того, что изделие, произведенное второй машиной, дефектно: \( P(B|A_2) = 0.05 \) (5 %);
• Вероятность того, что изделие, произведенное третьей машиной, дефектно: \( P(B|A_3) = 0.03 \) (3 %).

Шаг 3. Используем формулу Байеса:

Чтобы найти \( P(A_1|B) \), будем использовать формулу Байеса:

\[ P(A_1|B) = \frac{P(A_1) \cdot P(B|A_1)}{P(B)} \]

Шаг 4. Найдем полную вероятность дефектного изделия \( P(B) \):

По формуле полной вероятности:

\[ P(B) = P(A_1) \cdot P(B|A_1) + P(A_2) \cdot P(B|A_2) + P(A_3) \cdot P(B|A_3) \]

Подставим значения:

\[ P(B) = 0.30 \cdot 0.02 + 0.45 \cdot 0.05 + 0.25 \cdot 0.03 \]

Посчитаем:

\[ P(B) = 0.006 + 0.0225 + 0.0075 = 0.036 \]

Шаг 5. Найдем \( P(A_1|B) \):

Теперь подставим значения в формулу Байеса:

\[ P(A_1|B) = \frac{0.30 \cdot 0.02}{0.036} = \frac{0.006}{0.036} = 0.1667 \]

Ответ:

Вероятность того, что случайно выбранное изделие произведено первой машиной при условии, что оно дефектное, равна \( P(A_1|B) = 0.1667 \), или примерно 16.67 %.