Найти условную вероятность того, что человек здоров

Предмет: Теория вероятностей

Раздел: Условные вероятности, формула Байеса

Обозначим:

• ( B ) — событие, что человек болен туберкулезом.
• ( \bar{B} ) — событие, что человек здоров.
• ( T ) — событие, что обследование показало, что человек болен.

Нам нужно найти условную вероятность ( P(\bar{B} \mid T) ), то есть вероятность того, что человек здоров, если обследование показало, что он болен.

1. Используем формулу Байеса:

 P(\bar{B} \mid T) = \frac{P(T \mid \bar{B}) P(\bar{B})}{P(T)} 

2. Найдем вероятности:

• Доля больных в популяции:
  P(B) = \gamma, \quad P(\bar{B}) = 1 - \gamma
• Вероятность, что тест выявит болезнь у больного:
  P(T \mid B) = 1 - \beta
• Вероятность ложноположительного результата (здоровый признан больным):
  P(T \mid \bar{B}) = \alpha

3. Найдем полную вероятность события ( T ):

По формуле полной вероятности:  P(T) = P(T \mid B) P(B) + P(T \mid \bar{B}) P(\bar{B})  Подставляем значения:  P(T) = (1 - \beta) \gamma + \alpha (1 - \gamma) 

4. Подставляем в формулу Байеса:

 P(\bar{B} \mid T) = \frac{\alpha (1 - \gamma)}{(1 - \beta) \gamma + \alpha (1 - \gamma)} 

Численное значение при ( 1 - \beta = 0.9 ), ( \alpha = 0.01 ), ( \gamma = 0.001 ):

Подставляем:  P(T) = 0.9 \cdot 0.001 + 0.01 \cdot (1 - 0.001)   P(T) = 0.0009 + 0.00999 = 0.01089 

Теперь вычисляем:  P(\bar{B} \mid T) = \frac{0.01 \cdot (1 - 0.001)}{0.01089}   P(\bar{B} \mid T) = \frac{0.00999}{0.01089} \approx 0.9167 

Ответ:

Вероятность того, что человек здоров при положительном результате обследования, составляет 0.9167 (или 91.67%).