Найти условную вероятность события

Определение предмета и раздела

Это задание относится к теории вероятностей и стохастическим процессам в частности. Конкретно, речь идет о разделе, который изучает пуассоновские процессы, их свойства и вероятностные характеристики.

Разъяснение

Мы имеем пуассоновский процесс \( X(t) \), который описывает количество событий, произошедших к моменту времени \( t \). Нам известна интенсивность процесса \( \lambda = 5 \), что означает, что в среднем 5 событий происходит за единицу времени. Требуется найти условную вероятность события \( P\{X(3)=8|X(10)=22\} \). То есть нужно определить вероятность того, что к моменту времени \( t = 3 \) произошло 8 событий, при условии, что к моменту времени \( t = 10 \) произошло 22 события.

Свойства Пуассоновского процесса

Пуассоновский процесс обладает важным свойством, которое называется независимость на непересекающихся интервалах. В частности, число событий, происходящих на любом интервале времени, не зависит от числа событий на другом непересекающемся интервале. Это означает, что если мы рассматриваем события в интервале времени \( [3, 10] \), то количество событий на интервале \( [0, 3] \) и на интервале \( [3, 10] \) — независимые случайные величины.

Поэтому данную задачу можно переформулировать следующим образом:

1. Пусть \( N_1 = X(3) \) — количество событий на интервале времени \( [0, 3] \),
2. Пусть \( N_2 = X(10) - X(3) = X(10) - N_1 \) — количество событий на интервале времени \( [3, 10] \).

Ищем: \[ P\{N_1 = 8 | N_1 + N_2 = 22\}. \]

Здесь \( N_1 \) — число событий на интервале времени \( [0, 3] \), а \( N_2 \) — число событий на интервале времени \( [3, 10] \). Мы знаем, что суммарное число событий на интервале \( [0, 10] \) равно 22, то есть \( N_1 + N_2 = 22 \).

Вероятность условного распределения

В данной ситуации события \( N_1 \) и \( N_2 \) распределены по закону Пуассона:

• \( N_1 \) имеет распределение Пуассона с параметром \( 5 \times 3 = 15 \) (так как интенсивность 5 событий в единицу времени, и нас интересует интервал длиной 3),
• \( N_2 \) имеет распределение Пуассона с параметром \( 5 \times (10 - 3) = 35 \) (интенсивность на интервале длиной 7).

Однако для решения задачи удобно использовать следующее свойство: условное распределение \( N_1 \) при условии \( N_1 + N_2 = 22 \) имеет биномиальное распределение. Это называется свойством дробления Пуассоновского процесса. Если мы знаем, что на интервале \( [0, 10] \) произошло 22 события, то условное распределение числа событий на подинтервалах, таких как \( [0, 3] \) и \( [3, 10] \), будет распределено биномиально. То есть,

\[ P\{N_1 = 8 | N_1 + N_2 = 22\} = \binom{22}{8} \left( \frac{3}{10} \right)^8 \left( \frac{7}{10} \right)^{14}, \]

где:

• \( \binom{22}{8} \) — это биномиальный коэффициент, который выражает число способов выбрать 8 событий из 22,
• \( \frac{3}{10} \) — это вероятность того, что событие произошло на интервале \( [0, 3] \),
• \( \frac{7}{10} \) — это вероятность того, что событие произошло на интервале \( [3, 10] \).

Расчет

1. Биномиальный коэффициент: \[ \binom{22}{8} = \frac{22!}{8!(22 - 8)!} = \frac{22!}{8!14!} = 319770. \]
2. Вероятности: \[ \left( \frac{3}{10} \right)^8 = 0.0006561, \quad \left( \frac{7}{10} \right)^{14} = 0.0473004. \]

Теперь можем подставить всё в формулу:

\[ P\{N_1 = 8 | N_1 + N_2 = 22\} = 319770 \times 0.0006561 \times 0.0473004. \]

Рассчитаем это:

\[ P\{N_1 = 8 | N_1 + N_2 = 22\} \approx 319770 \times 0.000031 = 9.913. \]

Таким образом, вероятность равна примерно 0.099.

Ответ:

\[ P\{X(3)=8|X(10)=22\} \approx 0.099. \]

Для подсчета этой вероятности нужно вычислить биномиальный коэффициент и вероятности: