Найти уравнение регрессии X на Y

Предмет: Математика
Раздел: Теория вероятностей и математическая статистика (регрессия)

Дана двумерная случайная величина (X, Y) с распределением вероятностей, заданным таблицей. Требуется найти уравнение регрессии X на Y, то есть найти функцию  \hat{X}(Y) = E(X|Y)  и построить линию регрессии.

Шаг 1. Найдем вероятности для каждого значения Y

Для каждого значения Y вычислим маргинальную вероятность  P(Y=y_j)  как сумму вероятностей по X:

• Для  Y = -3 :  P(Y=-3) = 0.15 + 0.08 + 0.04 = 0.27 

• Для  Y = 0 :  P(Y=0) = 0.16 + 0.15 + 0.05 = 0.36 

• Для  Y = 2 :  P(Y=2) = 0.09 + 0.10 + 0.03 = 0.22 

• Для  Y = 4 :  P(Y=4) = 0.09 + 0.05 + 0.01 = 0.15 

Шаг 2. Найдем условные математические ожидания  E(X|Y=y_j) 

Для каждого значения Y:

 E(X|Y=y_j) = \sum_i x_i \cdot P(X=x_i | Y=y_j) = \frac{\sum_i x_i \cdot P(X=x_i, Y=y_j)}{P(Y=y_j)} 

Для  Y = -3 :

 E(X|-3) = \frac{(-2) \cdot 0.15 + (-1) \cdot 0.08 + 2 \cdot 0.04}{0.27} = \frac{-0.30 - 0.08 + 0.08}{0.27} = \frac{-0.30}{0.27} \approx -1.111 

Для  Y = 0 :

 E(X|0) = \frac{(-2) \cdot 0.16 + (-1) \cdot 0.15 + 2 \cdot 0.05}{0.36} = \frac{-0.32 - 0.15 + 0.10}{0.36} = \frac{-0.37}{0.36} \approx -1.028 

Для  Y = 2 :

 E(X|2) = \frac{(-2) \cdot 0.09 + (-1) \cdot 0.10 + 2 \cdot 0.03}{0.22} = \frac{-0.18 - 0.10 + 0.06}{0.22} = \frac{-0.22}{0.22} = -1 

Для  Y = 4 :

 E(X|4) = \frac{(-2) \cdot 0.09 + (-1) \cdot 0.05 + 2 \cdot 0.01}{0.15} = \frac{-0.18 - 0.05 + 0.02}{0.15} = \frac{-0.21}{0.15} = -1.4 

Шаг 3. Найдем параметры линии регрессии

Линия регрессии X на Y имеет вид:

 \hat{X} = a + bY 

где

 b = \frac{\mathrm{Cov}(X,Y)}{\mathrm{Var}(Y)} ,
 a = E(X) - b E(Y) .

Шаг 4. Найдем  E(X)  и  E(Y) 

 E(X) = \sum_{i,j} x_i \cdot P(X=x_i, Y=y_j) 

Посчитаем:

 E(X) = (-2)(0.15 + 0.16 + 0.09 + 0.09) + (-1)(0.08 + 0.15 + 0.10 + 0.05) + 2(0.04 + 0.05 + 0.03 + 0.01) 

Считаем суммы:

• Для  X = -2 :
   0.15 + 0.16 + 0.09 + 0.09 = 0.49 

• Для  X = -1 :
   0.08 + 0.15 + 0.10 + 0.05 = 0.38 

• Для  X = 2 :
   0.04 + 0.05 + 0.03 + 0.01 = 0.13 

Подставляем:

 E(X) = (-2)(0.49) + (-1)(0.38) + 2(0.13) = -0.98 - 0.38 + 0.26 = -1.10 

Для  E(Y) :

 E(Y) = \sum_j y_j \cdot P(Y=y_j) = (-3)(0.27) + 0(0.36) + 2(0.22) + 4(0.15) 

Считаем:

 E(Y) = -0.81 + 0 + 0.44 + 0.60 = 0.23 

Шаг 5. Найдем  \mathrm{Var}(Y) 

Для этого нужно  E(Y^2) :

 E(Y^2) = (-3)^2 \cdot 0.27 + 0^2 \cdot 0.36 + 2^2 \cdot 0.22 + 4^2 \cdot 0.15 = 9 \cdot 0.27 + 0 + 4 \cdot 0.22 + 16 \cdot 0.15 

 E(Y^2) = 2.43 + 0 + 0.88 + 2.4 = 5.71 

Тогда:

 \mathrm{Var}(Y) = E(Y^2) - (E(Y))^2 = 5.71 - (0.23)^2 = 5.71 - 0.0529 = 5.6571 

Шаг 6. Найдем  \mathrm{Cov}(X,Y) = E(XY) - E(X)E(Y) 

Найдем  E(XY) :

 E(XY) = \sum_{i,j} x_i y_j P(X=x_i, Y=y_j) 

Подставляем значения:

[ \begin{aligned} E(XY) &= (-2)(-3)(0.15) + (-2)(0)(0.16) + (-2)(2)(0.09) + (-2)(4)(0.09) \ &+ (-1)(-3)(0.08) + (-1)(0)(0.15) + (-1)(2)(0.10) + (-1)(4)(0.05) \ &+ 2(-3)(0.04) + 2(0)(0.05) + 2(2)(0.03) + 2(4)(0.01) \end{aligned} ]

Считаем по частям:

•  (-2)(-3)(0.15) = 6 \cdot 0.15 = 0.90 
•  (-2)(0)(0.16) = 0 
•  (-2)(2)(0.09) = -4 \cdot 0.09 = -0.36 
•  (-2)(4)(0.09) = -8 \cdot 0.09 = -0.72 
•  (-1)(-3)(0.08) = 3 \cdot 0.08 = 0.24 
•  (-1)(0)(0.15) = 0 
•  (-1)(2)(0.10) = -2 \cdot 0.10 = -0.20 
•  (-1)(4)(0.05) = -4 \cdot 0.05 = -0.20 
•  2(-3)(0.04) = -6 \cdot 0.04 = -0.24 
•  2(0)(0.05) = 0 
•  2(2)(0.03) = 4 \cdot 0.03 = 0.12 
•  2(4)(0.01) = 8 \cdot 0.01 = 0.08 

Суммируем:

 0.90 + 0 - 0.36 - 0.72 + 0.24 + 0 - 0.20 - 0.20 - 0.24 + 0 + 0.12 + 0.08 = -0.38 

Теперь находим ковариацию:

 \mathrm{Cov}(X,Y) = E(XY) - E(X)E(Y) = -0.38 - (-1.10)(0.23) = -0.38 + 0.253 = -0.127 

Шаг 7. Найдем коэффициенты регрессии

 b = \frac{\mathrm{Cov}(X,Y)}{\mathrm{Var}(Y)} = \frac{-0.127}{5.6571} \approx -0.0224 

 a = E(X) - b E(Y) = -1.10 - (-0.0224)(0.23) = -1.10 + 0.00515 = -1.09485 

Ответ:

Уравнение линии регрессии X на Y:

 \hat{X} = -1.09485 - 0.0224 Y 

Построение линии регрессии:

Это прямая с небольшим отрицательным наклоном, проходящая через точку  (0, -1.09485) .

Если нужна помощь с построением графика, могу помочь!