Найти третий начальный момент

Предмет: Теория вероятностей и математическая статистика
Раздел: Математические ожидания. Начальные моменты случайной величины

Задача:
Дана случайная величина ( X ), распределённая с плотностью:

f(x) = \frac{2x}{\sigma_x^2} \exp\left(-\frac{x^2}{\sigma_x^2}\right), \quad x > 0, \, \sigma_x > 0

Найти третий начальный момент, то есть \mathbb{E}[X^3].

Шаг 1: Определение начального момента

( k )-й начальный момент случайной величины ( X ) определяется как:

\mathbb{E}[X^k] = \int_0^{\infty} x^k f(x) \, dx

Для третьего момента:

\mathbb{E}[X^3] = \int_0^{\infty} x^3 \cdot \frac{2x}{\sigma_x^2} \exp\left(-\frac{x^2}{\sigma_x^2}\right) dx

Упростим подынтегральное выражение:

\mathbb{E}[X^3] = \int_0^{\infty} \frac{2x^4}{\sigma_x^2} \exp\left(-\frac{x^2}{\sigma_x^2}\right) dx

Шаг 2: Подстановка

Введем замену переменной:

u = \frac{x^2}{\sigma_x^2} \Rightarrow x = \sigma_x \sqrt{u}, \quad dx = \frac{\sigma_x}{2\sqrt{u}} du

Подставим в интеграл:

 \mathbb{E}[X^3] = \int_0^{\infty} \frac{2(\sigma_x \sqrt{u})^4}{\sigma_x^2} \cdot \exp(-u) \cdot \frac{\sigma_x}{2\sqrt{u}} du 

Вычислим:

• (\sigma_x \sqrt{u})^4 = \sigma_x^4 u^2
• \frac{2 \cdot \sigma_x^4 u^2}{\sigma_x^2} = 2 \sigma_x^2 u^2
• \frac{\sigma_x}{2\sqrt{u}} — из производной

Теперь:

 \mathbb{E}[X^3] = \int_0^{\infty} 2 \sigma_x^2 u^2 \cdot \exp(-u) \cdot \frac{\sigma_x}{2\sqrt{u}} du = \sigma_x^3 \int_0^{\infty} u^{3/2} e^{-u} du 

Шаг 3: Используем гамма-функцию

\int_0^{\infty} u^{a-1} e^{-u} du = \Gamma(a)

В нашем случае:

\int_0^{\infty} u^{3/2} e^{-u} du = \Gamma\left(\frac{5}{2}\right)

Из свойств гамма-функции:

\Gamma\left(\frac{5}{2}\right) = \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \sqrt{\pi} = \frac{3\sqrt{\pi}}{4}

Шаг 4: Ответ

 \mathbb{E}[X^3] = \sigma_x^3 \cdot \frac{3\sqrt{\pi}}{4} 

Ответ:

\boxed{\mathbb{E}[X^3] = \frac{3}{4} \sigma_x^3 \sqrt{\pi}}