Найти среднее значение и стандартное отклонение в нормально распределенной совокупности

Определим предмет и раздел предмета данного задания.

Предмет: Математика Раздел: Статистика

Мы имеем дело с нормально распределенной совокупностью, где:

• 15% значений меньше 12 (этот процент соответствует нижнему процентилю)
• 40% значений больше 16,2 (этот процент соответствует верхнему процентилю, остальным 60% меньше 16,2)

Обозначим среднее значение этой распределенной совокупности через \(\mu\), а стандартное отклонение через \(\sigma\).

Шаг 1: Преобразование данных в стандартные оценки (z-оценки)

Сначала следует трансформировать сырые данные (баллы) в z-оценки, используя таблицу стандартного нормального распределения.

Найдем z-оценку для 15%

15% значений ниже некоторой границы можно записать как \( P(Z < z_{0.15}) = 0.15 \). Из стандартных нормальных таблиц (или используя функции в программировании), значение \( z \)-оценки для 0.15 примерно равно -1.04 (значение может незначительно варьироваться в зависимости от таблицы). Значит, для \( x = 12 \):

\[ \frac{12 - \mu}{\sigma} = -1.04 \]

Запишем это уравнение:

\[ 12 = \mu - 1.04\sigma \tag{1} \]

Найдем z-оценку для 60%

Поскольку 40% значений больше 16.2, то 60% значений меньше 16.2:

\[ P(Z < z_{0.60}) = 0.60 \]

Из стандартных нормальных таблиц значение \( z \)-оценки для 0.60 примерно равно 0.25. Значит, для \( x = 16.2 \):

\[ \frac{16.2 - \mu}{\sigma} = 0.25 \]

И получаем второе уравнение:

\[ 16.2 = \mu + 0.25\sigma \tag{2} \]

Шаг 2: Решение системы уравнений

Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений:

\[ 12 = \mu - 1.04\sigma \]

\[ 16.2 = \mu + 0.25\sigma \]

Решим эту систему уравнений для \(\mu\) и \(\sigma\):

1. Выразим \(\mu\) из уравнения (1):

\[ \mu = 12 + 1.04\sigma \tag{1'} \]

2. Подставим \(\mu\) из уравнения (1') в уравнение (2):

\[ 16.2 = (12 + 1.04\sigma) + 0.25\sigma \]

\[ 16.2 = 12 + 1.29\sigma \]

3. Решим это уравнение для \(\sigma\):

\[ 16.2 - 12 = 1.29\sigma \]

\[ 4.2 = 1.29\sigma \]

\[ \sigma = \frac{4.2}{1.29} \]

\[ \sigma \approx 3.26 \]

4. Найдем \(\mu\) подставив значение \(\sigma\) в уравнение (1'):

\[ \mu = 12 + 1.04 \cdot 3.26 \]

\[ \mu = 12 + 3.39 \]

\[ \mu \approx 15.39 \]

Ответ:

• Среднее значение (\(\mu\)): примерно 15.39
• Стандартное отклонение (\(\sigma\)): примерно 3.26

Теперь у нас есть точные значения среднего значения и стандартного отклонения этой нормально распределенной совокупности.