Найти среднее значение и стандартное отклонение в нормально распределенной совокупности

Определим предмет и раздел предмета данного задания.

Предмет: Математика Раздел: Статистика

Мы имеем дело с нормально распределенной совокупностью, где:

• 15% значений меньше 12 (этот процент соответствует нижнему процентилю)
• 40% значений больше 16,2 (этот процент соответствует верхнему процентилю, остальным 60% меньше 16,2)

Обозначим среднее значение этой распределенной совокупности через $\text{(}\mu \text{)}$, а стандартное отклонение через $\text{(}\sigma \text{)}$.

Шаг 1: Преобразование данных в стандартные оценки (z-оценки)

Сначала следует трансформировать сырые данные (баллы) в z-оценки, используя таблицу стандартного нормального распределения.

Найдем z-оценку для 15%

15% значений ниже некоторой границы можно записать как $\text{(}P(Z<z_{0.15})=0.15\text{)}$. Из стандартных нормальных таблиц (или используя функции в программировании), значение $\text{(}z\text{)}$-оценки для 0.15 примерно равно -1.04 (значение может незначительно варьироваться в зависимости от таблицы). Значит, для $\text{(}x=12\text{)}$:

$\text{[}\frac{12-\mu }{\sigma }=-1.04\text{]}$

Запишем это уравнение:

$\text{[}12=\mu -1.04\sigma \text{]}$

Найдем z-оценку для 60%

Поскольку 40% значений больше 16.2, то 60% значений меньше 16.2:

$\text{[}P(Z<z_{0.60})=0.60\text{]}$

Из стандартных нормальных таблиц значение $\text{(}z\text{)}$-оценки для 0.60 примерно равно 0.25. Значит, для $\text{(}x=16.2\text{)}$:

$\text{[}\frac{16.2-\mu }{\sigma }=0.25\text{]}$

И получаем второе уравнение:

$\text{[}16.2=\mu +0.25\sigma \text{]}$

Шаг 2: Решение системы уравнений

Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений:

$\text{[}12=\mu -1.04\sigma \text{]}$

$\text{[}16.2=\mu +0.25\sigma \text{]}$

Решим эту систему уравнений для $\text{(}\mu \text{)}$ и $\text{(}\sigma \text{)}$:

1. Выразим $\text{(}\mu \text{)}$ из уравнения (1):

$\text{[}\mu =12+1.04\sigma \text{]}$

2. Подставим $\text{(}\mu \text{)}$ из уравнения (1') в уравнение (2):

$\text{[}16.2=(12+1.04\sigma )+0.25\sigma \text{]}$

$\text{[}16.2=12+1.29\sigma \text{]}$

3. Решим это уравнение для $\text{(}\sigma \text{)}$:

$\text{[}16.2-12=1.29\sigma \text{]}$

$\text{[}4.2=1.29\sigma \text{]}$

$\text{[}\sigma =\frac{4.2}{1.29}\text{]}$

$\text{[}\sigma \approx 3.26\text{]}$

4. Найдем $\text{(}\mu \text{)}$ подставив значение $\text{(}\sigma \text{)}$ в уравнение (1'):

$\text{[}\mu =12+1.04\cdot 3.26\text{]}$

$\text{[}\mu =12+3.39\text{]}$

$\text{[}\mu \approx 15.39\text{]}$

Ответ:

• Среднее значение ($\text{(}\mu \text{)}$): примерно 15.39
• Стандартное отклонение ($\text{(}\sigma \text{)}$): примерно 3.26

Теперь у нас есть точные значения среднего значения и стандартного отклонения этой нормально распределенной совокупности.