Найти среднее значение и стандартное отклонение распределения

Это задание относится к предмету статистика, раздел теория вероятностей и математическая статистика, в частности к нормальному распределению. Для решения задачи будем использовать свойства нормального распределения и стандартное нормальное распределение (\( Z \)-распределение). По условию задачи:

1. \( P(X < 12) = 0.15 \) (это значит, что 15% значений меньше 12)
2. \( P(X > 16.2) = 0.40 \) (это значит, что 40% значений больше 16.2)

Нормальное распределение можно преобразовать в стандартное нормальное распределение через преобразование \( Z = \frac{X - \mu}{\sigma} \), где \( \mu \) — среднее значение, а \( \sigma \) — стандартное отклонение.

Шаг 1: Найти \( Z \)-значения

1. \( P(Z < z_1) = 0.15 \)
2. \( P(Z > z_2) = 0.40 \)

Найдем \( z_1 \) и \( z_2 \) из таблицы стандартного нормального распределения (или воспользуемся квантильной функцией стандартного нормального распределения). Для \( z_1 \):

\[ P(Z < z_1) = 0.15 \]

Из таблицы или с помощью калькулятора квантилей:

\[ z_1 \approx -1.04 \]

Для \( z_2 \):

\[ P(Z > z_2) = 0.40 \]

Так как \( P(Z > z_2) = 0.40 \), то \( P(Z < z_2) = 1 - 0.40 = 0.60 \). Из таблицы или с помощью калькулятора квантилей:

\[ z_2 \approx 0.25 \]

Шаг 2: Соотношения для \( Z \)

Из формулы \( Z = \frac{X - \mu}{\sigma} \) получаем для каждого случая:

1. \( \frac{12 - \mu}{\sigma} = -1.04 \)
2. \( \frac{16.2 - \mu}{\sigma} = 0.25 \)

Шаг 3: Система уравнений

Запишем систему уравнений:

1. \( 12 - \mu = -1.04\sigma \)
2. \( 16.2 - \mu = 0.25\sigma \)

Шаг 4: Решим систему уравнений

Во-первых, выразим \(\sigma\) из одного из уравнений. Возьмем первое уравнение:

\[ 12 - \mu = -1.04\sigma \]

\[ \sigma = \frac{12 - \mu}{-1.04} \]

Подставим это значение в второе уравнение:

\[ 16.2 - \mu = 0.25 \cdot \frac{12 - \mu}{-1.04} \]

\[ 16.2 - \mu = -0.24 \cdot (12 - \mu) \]

\[ 16.2 - \mu = -2.88 + 0.24\mu \]

\[ 16.2 + 2.88 = \mu + 0.24\mu \]

\[ 19.08 = 1.24\mu \]

\[ \mu = \frac{19.08}{1.24} \]

\[ \mu \approx 15.4 \]

Теперь найдем \(\sigma\):

\[ \sigma = \frac{12 - 15.4}{-1.04} \]

\[ \sigma = \frac{-3.4}{-1.04} \]

\[ \sigma \approx 3.27 \]

Ответ: Среднее значение \( \mu \approx 15.4 \) Стандартное отклонение \( \sigma \approx 3.27 \)