Найти среднее квадратическое отклонение, которое связано с дисперсией случайной величины

Предмет: Теория вероятностей и математическая статистика

Раздел: Дисперсия и среднее квадратическое отклонение

Условие: Дан ряд распределения случайной величины с заданными значениями \( x_i \) и их соответствующими вероятностями \( p_i \):

\[ x_i = \{2, 4, 6\}, \quad p_i = \{0.1, 0.3, 0.6\}. \]

Нужно найти среднее квадратическое отклонение, которое связано с дисперсией случайной величины следующим образом:

\[ \sigma = \sqrt{D(X)}, \]

где \( D(X) \) — это дисперсия.

Шаг 1: Вычисление математического ожидания \( \mathbb{E}(X) \)

Математическое ожидание \( \mathbb{E}(X) \) (среднее значение случайной величины \( X \)) вычисляется по формуле:

\[ \mathbb{E}(X) = \sum_{i=1}^n x_i \cdot p_i. \]

Подставляем значения \( x_i \) и \( p_i \):

\[ \mathbb{E}(X) = (2 \cdot 0.1) + (4 \cdot 0.3) + (6 \cdot 0.6). \]

Выполняем умножение и сложение:

\[ \mathbb{E}(X) = 0.2 + 1.2 + 3.6 = 5.0. \]

Итак, математическое ожидание равно \( \mathbb{E}(X) = 5.0 \).

Шаг 2: Вычисление дисперсии \( D(X) \)

Дисперсия вычисляется по формуле:

\[ D(X) = \mathbb{E}(X^2) - (\mathbb{E}(X))^2, \]

где \(\mathbb{E}(X^2)\) — это математическое ожидание квадрата случайной величины, вычисляемое как:

\[ \mathbb{E}(X^2) = \sum_{i=1}^n x_i^2 \cdot p_i. \]

Вычислим \( \mathbb{E}(X^2) \):

\[ \mathbb{E}(X^2) = (2^2 \cdot 0.1) + (4^2 \cdot 0.3) + (6^2 \cdot 0.6). \]

Сначала вычислим квадраты \( x_i^2 \) и произведения:

\[ 2^2 = 4, \quad 4^2 = 16, \quad 6^2 = 36. \]

\[ 4 \cdot 0.1 = 0.4, \quad 16 \cdot 0.3 = 4.8, \quad 36 \cdot 0.6 = 21.6. \]

Теперь сложим результаты:

\[ \mathbb{E}(X^2) = 0.4 + 4.8 + 21.6 = 26.8. \]

Теперь вычислим дисперсию:

\[ D(X) = \mathbb{E}(X^2) - (\mathbb{E}(X))^2. \]

Подставляем значения:

\[ D(X) = 26.8 - (5.0)^2 = 26.8 - 25 = 1.8. \]

Шаг 3: Вычисление среднего квадратического отклонения \( \sigma \)

Среднее квадратическое отклонение равно квадратному корню из дисперсии:

\[ \sigma = \sqrt{D(X)}. \]

Подставляем \( D(X) = 1.8 \):

\[ \sigma = \sqrt{1.8}. \]

Приблизительно:

Ответ: Среднее квадратическое отклонение равно 1.34 (приблизительно).

\[ \sigma \approx 1.34. \]