Найти, сколько процентов коробок прослужат меньше года

Предмет: Математика
Раздел: Теория вероятностей и математическая статистика (нормальное распределение)

Условие задачи:

Срок службы коробки передач подчиняется нормальному закону с среднеквадратичным отклонением (стандартным отклонением) [\sigma = 8] месяцев. Известно, что 12% коробок служат более 30 месяцев, то есть:

[P(X > 30) = 0.12]

Найти, сколько процентов коробок прослужат меньше года (то есть меньше 12 месяцев).

Шаг 1: Найдём математическое ожидание (среднее) [\mu]

Пусть [X \sim N(\mu, \sigma^2)] — нормально распределённая случайная величина, описывающая срок службы коробки передач.

Из условия: [P(X > 30) = 0.12]
Значит: [P(X \leq 30) = 1 - 0.12 = 0.88]

Теперь найдём такое значение [\mu], при котором вероятность [P(X \leq 30) = 0.88].

Перейдём к стандартному нормальному распределению с помощью стандартизации:

 Z = \frac{X - \mu}{\sigma} 

Тогда:

 P\left(Z \leq \frac{30 - \mu}{8}\right) = 0.88 

По таблице стандартного нормального распределения (или с помощью калькулятора), находим:  P(Z \leq z) = 0.88 \Rightarrow z \approx 1.175 

Теперь решим уравнение:

 \frac{30 - \mu}{8} = 1.175 \Rightarrow 30 - \mu = 9.4 \Rightarrow \mu = 30 - 9.4 = 20.6 

Итак, математическое ожидание: [\mu = 20.6]

Шаг 2: Найдём вероятность того, что срок службы меньше года (12 месяцев)

Нам нужно найти:  P(X < 12) 

Снова стандартизируем:

 Z = \frac{12 - \mu}{\sigma} = \frac{12 - 20.6}{8} = \frac{-8.6}{8} = -1.075 

Теперь найдём [P(Z < -1.075)]. По таблице стандартного нормального распределения:

 P(Z < -1.075) \approx 0.141 

То есть:  P(X < 12) \approx 14.1\% 

✅ Ответ:

Около 14.1% коробок передач прослужат меньше года.