Найти ряд распределения Y и найти ее основные числовые характеристики

Это задание относится к предмету "Теория вероятностей и математическая статистика". Задание просит найти распределение случайной величины \( Y \) и ее основные числовые характеристики.

1. Построение ряда распределения \( Y \)

Для начала составим ряд распределения для случайной величины \( Y \). Чтобы это сделать, необходимо просуммировать вероятности для каждого значения \( Y \) по всем значениям \( X \). Например, вероятность того, что \( Y = 2 \):

\[ P(Y=2) = P(Y=2|X=2) \cdot P(X=2) + P(Y=2|X=3) \cdot P(X=3) + P(Y=2|X=4) \cdot P(X=4) \]

Но в данном случае нам дана совместное распределение \(X\) и \(Y\):

\[ P(Y=2) = P(X=2, Y=2) + P(X=3, Y=2) + P(X=4, Y=2) \]

Теперь рассчитаем вероятности для каждого значения \( Y \):

\[ P(Y=2) = 0.02 + 0.1 + 0.02 = 0.14 \]

\[ P(Y=3) = 0.3 + 0.03 + 0.01 = 0.34 \]

\[ P(Y=4) = 0.04 + 0.08 + 0.1 = 0.22 \]

\[ P(Y=5) = 0.02 + 0.1 + 0.2 = 0.32 \]

\[ P(Y=6) = 0.01 + 0.05 + 0.01 = 0.07 \]

Ряд распределения \( Y \):

2. Основные числовые характеристики:

Математическое ожидание \( E(Y) \)

\[ E(Y) = \sum_{i} y_i \cdot P(Y=y_i) \]

Подставим значения:

\[ E(Y) = 2 \cdot 0.14 + 3 \cdot 0.34 + 4 \cdot 0.22 + 5 \cdot 0.32 + 6 \cdot 0.07 = 0.28 + 1.02 + 0.88 + 1.6 + 0.42 = 4.2 \]

Дисперсия \( D(Y) \)

Для дисперсии нам нужно сначала найти \( E(Y^2) \):

\[ E(Y^2) = \sum_{i} y_i^2 \cdot P(Y=y_i) \]

Подставим значения:

\[ E(Y^2) = 2^2 \cdot 0.14 + 3^2 \cdot 0.34 + 4^2 \cdot 0.22 + 5^2 \cdot 0.32 + 6^2 \cdot 0.07 = 4 \cdot 0.14 + 9 \cdot 0.34 + 16 \cdot 0.22 + 25 \cdot 0.32 + 36 \cdot 0.07 \]

\[ = 0.56 + 3.06 + 3.52 + 8 + 2.52 = 17.66 \]

Теперь используя \( E(Y) \) и \( E(Y^2) \), найдем дисперсию:

\[ D(Y) = E(Y^2) - (E(Y))^2 \]

\[ D(Y) = 17.66 - 4.2^2 = 17.66 - 17.64 = 0.02 \]

Среднее квадратическое отклонение \( \sigma(Y) \)

\[ \sigma(Y) = \sqrt{D(Y)} \]

\[ \sigma(Y) = \sqrt{0.02} \approx 0.14 \]

Итак, ряд распределения случайной величины \( Y \) и его основные числовые характеристики:

1. Математическое ожидание \( E(Y) \): 4.2
2. Дисперсия \( D(Y) \): 0.02
3. Среднее квадратическое отклонение \( \sigma(Y) \): 0.14