Найти распределение числа светофоров, пройденных машиной до первой остановки, рассчитать соответствующее математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины

Определение предмета и раздела

Это задача относится к теории вероятностей и математической статистике, которая является частью курса математики. Конкретно, задача затрагивает дискретные случайные величины и их распределения, такие как геометрическое распределение.

Объяснение решения

Нам нужно найти распределение числа светофоров, пройденных машиной до первой остановки, а также рассчитать соответствующее математическое ожидание (среднее значение) и дисперсию (измерение разброса значений) этой случайной величины.

Шаг 1: Определение случайной величины

Пусть \( X \) — это число светофоров, которые машина пройдёт до того, как она остановится на красный. То есть, если \( X = n \), это означает, что машина прошла ровно \( n \) светофоров и остановилась на следующем. Вероятность того, что машина останавливается на светофоре, равна \( p = 0,5 \) (поскольку вероятность того, что светофор запрещает дальнейшее движение — 0,5).

Таким образом, речь идет о геометрическом распределении. Случайная величина \( X \) с геометрическим распределением описывает количество "успехов" (в нашем случае — пройденных светофоров), произошедших перед первым "провалом" (остановкой). Вероятность того, что автомобиль остановится после \( X = n \) светофоров, задаётся формулой:

\[ P(X = n) = (1 - p)^{n} \cdot p \]

где \( p = 0,5\) — вероятность остановки, а \( (1 - p) = 0,5 \) — это вероятность того, что машина проезжает светофор, не останавливаясь.

Шаг 2: Ряд распределения

Составим ряд распределения для случайной величины \( X \):

  • \( P(X = 0) \): машина останавливается на самом первом светофоре: \[ P(X = 0) = 0,5 \]
  • \( P(X = 1) \): машина проезжает 1 светофор и останавливается на втором: \[ P(X = 1) = 0,5 \cdot 0,5 = 0,25 \]
  • \( P(X = 2) \): машина проезжает 2 светофора и останавливается на 3-м: \[ P(X = 2) = 0,5 \cdot 0,5 \cdot 0,5 = 0,125 \]
  • \( P(X = 3) \): машина проезжает 3 светофора и останавливается на 4-м: \[ P(X = 3) = 0,5 \cdot 0,5 \cdot 0,5 \cdot 0,5 = 0,0625 \]

Таким образом, ряд распределения можно записать в виде таблицы:

\( X \) 0 1 2 3
\( P(X) \) 0,5 0,25 0,125 0,0625
Шаг 3: Математическое ожидание \( \mathbb{E}(X) \)

Математическое ожидание для случайной величины, имеющей геометрическое распределение с параметром \( p \), вычисляется по формуле:

\[ \mathbb{E}(X) = \frac{1 - p}{p} \]

Подставим \( p = 0,5 \):

\[ \mathbb{E}(X) = \frac{1 - 0,5}{0,5} = \frac{0,5}{0,5} = 1 \]

Таким образом, математическое ожидание равно 1.

Шаг 4: Дисперсия \( \text{Var}(X) \)

Дисперсия для геометрически распределённой случайной величины с параметром \( p \) вычисляется по следующей формуле:

\[ \text{Var}(X) = \frac{1 - p}{p^2} \]

Подставим \( p = 0,5 \):

\[ \text{Var}(X) = \frac{1 - 0,5}{(0,5)^2} = \frac{0,5}{0,25} = 2 \]

Ответ:
  1. Ряд распределения случайной величины \( X \) (число светофоров, пройденных до первой остановки):
    \( X \) 0 1 2 3
    \( P(X) \) 0,5 0,25 0,125 0,0625
  2. Математическое ожидание \( \mathbb{E}(X) = 1 \)
  3. Дисперсия \( \text{Var}(X) = 2 \)

Таким образом, дисперсия равна 2.

Не нашли нужного вам решения? Оставьте заявку и наши авторы быстро и качественно помогут вам с решением.
Оставить заявку
Работа вам нужна срочно. Не волнуйтесь, уложимся!

Заполните, пожалуйста, данные для автора:

  • 22423 авторов готовы помочь тебе.
  • 2402 онлайн