Работа вам нужна срочно. Не волнуйтесь, уложимся!
Заполните, пожалуйста, данные для автора:
- 22423 авторов готовы помочь тебе.
- 2402 онлайн
Это задача относится к теории вероятностей и математической статистике, которая является частью курса математики. Конкретно, задача затрагивает дискретные случайные величины и их распределения, такие как геометрическое распределение.
Нам нужно найти распределение числа светофоров, пройденных машиной до первой остановки, а также рассчитать соответствующее математическое ожидание (среднее значение) и дисперсию (измерение разброса значений) этой случайной величины.
Пусть \( X \) — это число светофоров, которые машина пройдёт до того, как она остановится на красный. То есть, если \( X = n \), это означает, что машина прошла ровно \( n \) светофоров и остановилась на следующем. Вероятность того, что машина останавливается на светофоре, равна \( p = 0,5 \) (поскольку вероятность того, что светофор запрещает дальнейшее движение — 0,5).
Таким образом, речь идет о геометрическом распределении. Случайная величина \( X \) с геометрическим распределением описывает количество "успехов" (в нашем случае — пройденных светофоров), произошедших перед первым "провалом" (остановкой). Вероятность того, что автомобиль остановится после \( X = n \) светофоров, задаётся формулой:
\[ P(X = n) = (1 - p)^{n} \cdot p \]
где \( p = 0,5\) — вероятность остановки, а \( (1 - p) = 0,5 \) — это вероятность того, что машина проезжает светофор, не останавливаясь.
Составим ряд распределения для случайной величины \( X \):
Таким образом, ряд распределения можно записать в виде таблицы:
\( X \) | 0 | 1 | 2 | 3 |
---|---|---|---|---|
\( P(X) \) | 0,5 | 0,25 | 0,125 | 0,0625 |
Математическое ожидание для случайной величины, имеющей геометрическое распределение с параметром \( p \), вычисляется по формуле:
\[ \mathbb{E}(X) = \frac{1 - p}{p} \]
Подставим \( p = 0,5 \):
\[ \mathbb{E}(X) = \frac{1 - 0,5}{0,5} = \frac{0,5}{0,5} = 1 \]
Таким образом, математическое ожидание равно 1.
Дисперсия для геометрически распределённой случайной величины с параметром \( p \) вычисляется по следующей формуле:
\[ \text{Var}(X) = \frac{1 - p}{p^2} \]
Подставим \( p = 0,5 \):
\[ \text{Var}(X) = \frac{1 - 0,5}{(0,5)^2} = \frac{0,5}{0,25} = 2 \]
\( X \) | 0 | 1 | 2 | 3 |
---|---|---|---|---|
\( P(X) \) | 0,5 | 0,25 | 0,125 | 0,0625 |
Таким образом, дисперсия равна 2.