Найти процент фруктов, вес которых превышает 700 г.

Предмет: Теория вероятностей и математическая статистика
Раздел: Нормальное распределение, вероятности, стандартное нормальное распределение

Задача 8:
Вес грейпфрута — нормально распределённая величина с дисперсией [0{,}04\ \text{кг}^2].
Агрономы знают, что 65% фруктов весят меньше, чем 500 г.
Найти процент фруктов, вес которых превышает 700 г.

Шаг 1: Введение обозначений

Пусть случайная величина [X] — вес грейпфрута (в кг), распределён нормально:

[X \sim N(\mu, \sigma^2)],
где [\sigma^2 = 0{,}04] кг², значит [\sigma = \sqrt{0{,}04} = 0{,}2] кг.

Также известно:

[P(X < 0{,}5) = 0{,}65]

(так как 500 г = 0.5 кг)

Шаг 2: Выразим через стандартное нормальное распределение

Переходим к стандартной нормальной случайной величине:

[Z = \frac{X - \mu}{\sigma}]

Тогда:

[P(X < 0{,}5) = P\left(Z < \frac{0{,}5 - \mu}{0{,}2}\right) = 0{,}65]

Найдём такое значение [z], для которого [P(Z < z) = 0{,}65].
По таблице стандартного нормального распределения (или с помощью калькулятора):

[z = 0{,}385]

Теперь решим уравнение:

\[ \frac{0{,}5 - \mu}{0{,}2} = 0{,}385 \]

Отсюда:

\[ 0{,}5 - \mu = 0{,}2 \cdot 0{,}385 = 0{,}077 \Rightarrow \mu = 0{,}5 - 0{,}077 = 0{,}423 \]

Таким образом, математическое ожидание веса грейпфрута:

[\mu = 0{,}423\ \text{кг}]

Шаг 3: Найдём вероятность того, что вес больше 700 г = 0.7 кг

Найдём:

[P(X > 0{,}7)]

Переходим к стандартной нормальной величине:

\[ P(X > 0{,}7) = P\left(Z > \frac{0{,}7 - 0{,}423}{0{,}2}\right) = P(Z > 1{,}385) \]

По таблице стандартного нормального распределения:

[P(Z > 1{,}385) \approx 1 - 0{,}9177 = 0{,}0823]

Ответ:

Процент фруктов, вес которых превышает 700 г:

[8{,}23\%]

Если нужно округлить до целых, то ответ: 8%.