Найти плотность распределения вероятностей) (x f , математическое ожидание ) (XM и дисперсию) (XD случайной величины X

Предмет: Теория вероятностей и математическая статистика

Раздел предмета: Введение в случайные величины. Непрерывные случайные величины. Функция распределения и плотность вероятности.

Шаг 1: Найти плотность распределения вероятностей \( f(x) \)

Если задана функция распределения \( F(x) \), то плотность распределения вероятностей \( f(x) \) можно найти, взяв производную от \( F(x) \):

\[ f(x) = \frac{d}{dx}F(x) \]

Шаг 2: Найти математическое ожидание \( E[X] \)

Математическое ожидание случайной величины \( X \) вычисляется по следующей формуле:

\[ E[X] = \int_{-\infty}^{\infty} x f(x) \, dx \]

Шаг 3: Найти дисперсию \( D[X] \)

Дисперсия случайной величины \( X \) определяется как:

\[ D[X] = E[X^2] - (E[X])^2 \]

где \( E[X^2] \) - это математическое ожидание квадратов случайной величины \( X \):

\[ E[X^2] = \int_{-\infty}^{\infty} x^2 f(x) \, dx \]

Разбираем изображение: Срок исчерпания ресурса

На изображении приведена формула, определяющая срок исчерпания ресурса:

\[ t = \frac{\ln\left(\frac{Q \cdot TP}{q \cdot 100} + 1\right)}{\ln\left(1 + \frac{TP}{100}\right)} \]

с использованием данных:

\[ t = \frac{\ln\left(\frac{260 \cdot 0.02}{0.95 \cdot 100} + 1\right)}{\ln\left(1 + \frac{0.02}{100}\right)} = 267 \, \text{лет} \]

Здесь:

• \( Q = 260 \)
• \( TP = 0.02 \)
• \( q = 0.95 \)

Подробное решение данной формулы:

1. Вычислить числитель логарифма:

\[ \frac{260 \cdot 0.02}{0.95 \cdot 100} + 1 = \frac{5.2}{95} + 1 = \frac{52}{950} + 1 \approx 0.0547 + 1 = 1.0547 \]

2. Числитель логарифма:

\[ \ln(1.0547) \approx 0.0533 \]

3. Знаменатель логарифма:

\[ 1 + \frac{0.02}{100} = 1.0002 \]

4. Знаменатель логарифма:

\[ \ln(1.0002) \approx 0.0002 \]

5. Разделить числитель на знаменатель:

\[ \frac{0.0533}{0.0002} \approx 266.5 \, \text{лет} \]

Итог:

Мы упражнили процесс вычисления срока исчерпания ресурса, но основное задание относительно случайных величин требует функции распределения \( F(x) \). Вы можете предоставить функцию \( F(x) \) для завершения всех вычислений: плотности распределения \( f(x) \), математического ожидания \( E[X] \) и дисперсии \( D[X] \).