Найти плотность распределения следующих случайных величин

Предмет: Теория вероятностей и математическая статистика
Раздел: Распределения случайных величин, преобразование плотности вероятности

Условие:
Случайная величина ( X ) подчиняется закону Коши с плотностью:

f_X(x) = \frac{1}{\pi(1 + x^2)}, \quad x \in \mathbb{R}

Найти плотность распределения следующих случайных величин:

Y_1 = 3X - 2, \quad Y_2 = \frac{1}{3X - 2}, \quad Y_3 = \frac{1}{\pi} \arctg X, \quad Y_4 = 4X^2

Общая формула для преобразования плотности

Пусть ( Y = g(X) ), где ( g ) — монотонная и дифференцируемая функция. Тогда плотность ( Y ) выражается через плотность ( X ) по формуле:

 f_Y(y) = f_X(g^{-1}(y)) \cdot \left| \frac{d}{dy} g^{-1}(y) \right| 

Если ( g ) не является монотонной на всей области определения, разбиваем на интервалы монотонности и суммируем соответствующие плотности.

1. Случайная величина Y_1 = 3X - 2

Это линейное преобразование. Для линейной функции ( Y = aX + b ), плотность преобразуется по формуле:

 f_Y(y) = \frac{1}{|a|} f_X\left(\frac{y - b}{a}\right) 

В нашем случае: ( a = 3 ), ( b = -2 )

 f_{Y_1}(y) = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{\pi \left(1 + \left(\frac{y + 2}{3}\right)^2\right)} = \frac{1}{3\pi \left(1 + \left(\frac{y + 2}{3}\right)^2\right)} 

2. Случайная величина Y_2 = \frac{1}{3X - 2}

Сначала обозначим ( Z = 3X - 2 ), тогда ( Y_2 = \frac{1}{Z} ). Мы уже нашли плотность ( Z ) в предыдущем пункте — это ( Y_1 ).

Теперь применим преобразование ( Y = \frac{1}{Z} ), где ( Z \sim f_Z(z) )

Обратная функция: ( z = \frac{1}{y} )

Производная: ( \left| \frac{dz}{dy} \right| = \left| -\frac{1}{y^2} \right| = \frac{1}{y^2} )

 f_{Y_2}(y) = f_Z\left(\frac{1}{y}\right) \cdot \frac{1}{y^2} 

Подставим ( f_Z(z) = \frac{1}{3\pi(1 + (\frac{z + 2}{3})^2)} ):

 f_{Y_2}(y) = \frac{1}{3\pi \left(1 + \left(\frac{\frac{1}{y} + 2}{3}\right)^2\right)} \cdot \frac{1}{y^2} 

3. Случайная величина Y_3 = \frac{1}{\pi} \arctg X

Обратная функция: ( x = \tan(\pi y) )

Производная: ( \left| \frac{dx}{dy} \right| = \left| \pi \cdot \sec^2(\pi y) \right| )

Плотность:

 f_{Y_3}(y) = f_X(\tan(\pi y)) \cdot \left| \frac{d}{dy} \tan(\pi y) \right| = \frac{1}{\pi (1 + \tan^2(\pi y))} \cdot \pi \cdot \sec^2(\pi y) 

Заметим, что ( \sec^2(\theta) = 1 + \tan^2(\theta) ), тогда:

 f_{Y_3}(y) = \frac{1}{\pi (1 + \tan^2(\pi y))} \cdot \pi (1 + \tan^2(\pi y)) = 1 

Итак, ( Y_3 \sim \text{Uniform}(-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}) ), т.к. ( \arctg X \in (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}) \Rightarrow Y_3 \in (-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}) )

4. Случайная величина Y_4 = 4X^2

Обратная функция: ( x = \pm \sqrt{y/4} )

Поскольку ( x \in (-\infty, \infty) ), и ( X^2 ) симметрична, нужно учитывать обе ветви.

Производная: ( \left| \frac{dx}{dy} \right| = \frac{1}{4\sqrt{y}} )

 f_{Y_4}(y) = f_X(\sqrt{y/4}) \cdot \frac{1}{4\sqrt{y}} + f_X(-\sqrt{y/4}) \cdot \frac{1}{4\sqrt{y}} 

Так как плотность Коши чётная: ( f_X(x) = f_X(-x) ), тогда:

 f_{Y_4}(y) = \frac{2}{4\sqrt{y}} \cdot f_X(\sqrt{y/4}) = \frac{1}{2\sqrt{y}} \cdot \frac{1}{\pi (1 + y/4)} 

Итоговая плотность:

 f_{Y_4}(y) = \frac{1}{2\pi \sqrt{y} \left(1 + \frac{y}{4} \right)} = \frac{2}{\pi \sqrt{y}(4 + y)}, \quad y > 0 

Ответ:

1. f_{Y_1}(y) = \frac{1}{3\pi \left(1 + \left(\frac{y + 2}{3}\right)^2\right)}

2. f_{Y_2}(y) = \frac{1}{3\pi \left(1 + \left(\frac{\frac{1}{y} + 2}{3}\right)^2\right)} \cdot \frac{1}{y^2}

3. f_{Y_3}(y) = 1, \quad y \in \left(-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right)

4. f_{Y_4}(y) = \frac{2}{\pi \sqrt{y}(4 + y)}, \quad y > 0