Найти плотность распределения f(x)

Предмет: Теория вероятностей и математическая статистика
Раздел: Случайные величины и функции распределения

Дано: функция распределения случайной величины F(x):

 F(x) = \begin{cases} 0, & x \leq 5, \ 1 - \left(\frac{5}{x}\right)^3, & x > 5. \end{cases} 

Задачи:

1. Найти плотность распределения f(x).
2. Найти математическое ожидание E(X).
3. Найти дисперсию D(X).
4. Найти среднеквадратическое отклонение \sigma = \sqrt{D(X)}.
5. Найти вероятность P(1 \leq X \leq 10).
6. Построить графики функций f(x) и F(x).

1. Плотность распределения f(x)

Плотность распределения — производная функции распределения по переменной x:

 f(x) = \frac{d}{dx} F(x). 

Для x \leq 5:

F(x) = 0 \Rightarrow f(x) = 0.

Для x > 5:

 f(x) = \frac{d}{dx} \left(1 - \left(\frac{5}{x}\right)^3 \right) = - \frac{d}{dx} \left(\frac{125}{x^3}\right) = - \left(-3 \times \frac{125}{x^4}\right) = \frac{375}{x^4}. 

Итого:

 f(x) = \begin{cases} 0, & x \leq 5, \ \frac{375}{x^4}, & x > 5. \end{cases} 

2. Математическое ожидание E(X)

 E(X) = \int_{-\infty}^{\infty} x f(x) dx = \int_5^{\infty} x \cdot \frac{375}{x^4} dx = 375 \int_5^{\infty} x^{-3} dx. 

Вычислим интеграл:

 \int_5^{\infty} x^{-3} dx = \left[ \frac{x^{-2}}{-2} \right]_5^{\infty} = 0 - \left(-\frac{1}{2 \cdot 25}\right) = \frac{1}{50}. 

Тогда:

 E(X) = 375 \times \frac{1}{50} = 7.5. 

3. Дисперсия D(X)

Для дисперсии нужно найти E(X^2):

 E(X^2) = \int_5^{\infty} x^2 \cdot \frac{375}{x^4} dx = 375 \int_5^{\infty} x^{-2} dx. 

Вычислим интеграл:

 \int_5^{\infty} x^{-2} dx = \left[-\frac{1}{x}\right]_5^{\infty} = 0 - \left(-\frac{1}{5}\right) = \frac{1}{5}. 

Тогда:

 E(X^2) = 375 \times \frac{1}{5} = 75. 

Теперь дисперсия:

 D(X) = E(X^2) - (E(X))^2 = 75 - (7.5)^2 = 75 - 56.25 = 18.75. 

4. Среднеквадратическое отклонение

 \sigma = \sqrt{D(X)} = \sqrt{18.75} \approx 4.33. 

5. Вероятность P(1 \leq X \leq 10)

Поскольку F(x) = 0 при x \leq 5, и 1 \leq 5, то:

 P(1 \leq X \leq 10) = P(5 < X \leq 10) = F(10) - F(5). 

Вычислим:

 F(5) = 0, 

 F(10) = 1 - \left(\frac{5}{10}\right)^3 = 1 - \left(\frac{1}{2}\right)^3 = 1 - \frac{1}{8} = \frac{7}{8} = 0.875. 

Итого:

 P(1 \leq X \leq 10) = 0.875. 

6. Построение графиков

• График F(x) — функция распределения, равна 0 при x \leq 5, затем растет по формуле 1 - (5/x)^3 и стремится к 1 при x \to \infty.
• График f(x) — плотность распределения, равна 0 при x \leq 5, затем убывает как 375/x^4 при x > 5.

Если нужно, могу построить графики с помощью Python или другого инструмента.

Если хотите, могу помочь с построением графиков на Python.