Найти оценку параметра в методом моментов

Предмет этой задачи - математическая статистика, а раздел предмета - оценивание параметров.

В данном случае нас просят найти оценку параметра \( p \) биномиального распределения метод моментов.

Определим биномиальное распределение.

Биномиальное распределение моделирует число успехов в \( n \) независимых испытаниях, где \( p \) - вероятность успеха в каждом испытании. Его математическое ожидание (среднее значение) \( E(X) = np \).

Выборка и необходимость метода моментов.

Мы наблюдаем \( x_i \) с частотами \( n_i \). Дана выборка:

• \( x_1 = 1 \) с частотой \( n_1 = 6 \)
• \( x_2 = 2 \) с частотой \( n_2 = 3 \)
• \( x_3 = 3 \) с частотой \( n_3 = 1 \)

Вычислим выборочное среднее.

Выборочное среднее \( \bar{x} \) находят как взвешенную сумму наблюдений: \[ \bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^{k} x_i n_i}{\sum_{i=1}^{k} n_i} \] где \( k \) - число различных значений наблюдений.

Подставим наши значения: \[ \bar{x} = \frac{1 \cdot 6 + 2 \cdot 3 + 3 \cdot 1}{6 + 3 + 1} = \frac{6 + 6 + 3}{10} = \frac{15}{10} = 1.5 \]

Применим метод моментов.

Метод моментов основан на уравнении момента: \( E(X) = \bar{x} = np \). В данном случае \( n = 3 \) (максимальное значение \( x_i \)). Подставим наши значения: \[ \bar{x} = np \] \[ 1.5 = 3p \] \[ p = \frac{1.5}{3} = 0.5 \]

Ответ:

Согласно нашим расчетам, \( p = 0.5 \). Однако в предоставленных вариантах ответа такого значения нет, что может указывать на условие для другого значения \( n \). Это можно уточнить в исходное условие или пересмотреть таблицу данных.

Результаты кажутся правильными по существу, но вероятно возможна неучтенная специфика задачи. Правильный подход к реализации метода моментов строится именно так, а выявляемая концепция оценок параметров будет создана по аналогичному шаблону для любых других данных.