Найти нормирующую константу ( m ), при заданных параметрах

Предмет: Теория вероятностей и математическая статистика
Раздел: Непрерывные случайные величины — плотность распределения вероятностей

Условие задачи 3:

Дана функция плотности вероятности непрерывной случайной величины ( X ):

 f(x) = \begin{cases} 0, & x \leq a \ me^{kx}, & a < x \leq b \ 0, & x > b \end{cases} 

По условию, необходимо найти нормирующую константу ( m ), при заданных параметрах:

• [a = 1],
• [b = 2],
• [k = 2],
• [c = 1],
• [d = 1.5].

Шаг 1: Свойство функции плотности

Функция плотности вероятности должна удовлетворять условию нормировки:

 \int_{-\infty}^{+\infty} f(x)\,dx = 1 

Так как вне интервала [a < x \leq b] функция равна нулю, то интеграл можно записать как:

 \int_{a}^{b} me^{kx} dx = 1 

Шаг 2: Вычислим интеграл

Подставим значения:

 \int_{1}^{2} me^{2x} dx = 1 

Вынесем [m] за знак интеграла:

 m \int_{1}^{2} e^{2x} dx = 1 

Вычислим интеграл:

 \int e^{2x} dx = \frac{1}{2} e^{2x} 

Тогда:

 m \left[ \frac{1}{2} e^{2x} \right]_{1}^{2} = 1 

 m \left( \frac{1}{2} e^{4} - \frac{1}{2} e^{2} \right) = 1 

 m \cdot \frac{1}{2} (e^{4} - e^{2}) = 1 

Шаг 3: Найдём [m]

 m = \frac{2}{e^{4} - e^{2}} 

Вынесем [e^2] за скобку:

 m = \frac{2}{e^{2}(e^{2} - 1)} 

Ответ:

 \boxed{m = \frac{2}{e^{2}(e^{2} - 1)}} 

Если нужно численное значение, то:

• [e^2 \approx 7.389]
• [e^4 \approx 54.598]

 m \approx \frac{2}{54.598 - 7.389} \approx \frac{2}{47.209} \approx 0.0424 

Окончательный ответ:

 \boxed{m \approx 0.0424}