Найти наиболее вероятное значение [X] (мода распределения)

Предмет: Теория вероятностей и математическая статистика

Раздел: Дискретные случайные величины и их распределения

Условие задачи:

У нас есть 15 лампочек, каждая из которых перегорает в течение года с вероятностью [1/4]. Нужно определить закон распределения случайной величины [X], где [X] — число лампочек, перегоревших в течение года. Также требуется найти наиболее вероятное значение [X] (мода распределения).

Решение:

1. Определение закона распределения случайной величины [X]:

   Случайная величина [X] — это число перегоревших лампочек из 15. Каждая лампочка перегорает независимо от других с вероятностью [p = 1/4]. Следовательно, [X] имеет биномиальное распределение с параметрами [n = 15] и [p = 1/4].

   Формула биномиального распределения выглядит следующим образом:

    P(X = k) = C_n^k \cdot p^k \cdot (1 - p)^{n - k}, 

   где:

   • [C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}] — число сочетаний,
   • [p = 1/4] — вероятность перегорания одной лампочки,
   • [(1 - p) = 3/4] — вероятность того, что лампочка не перегорит,
   • [n = 15] — общее число лампочек,
   • [k] — число перегоревших лампочек ([k = 0, 1, 2, \dots, 15]).

2. Таким образом, закон распределения [X] задаётся формулой:

    P(X = k) = C_{15}^k \cdot \left(\frac{1}{4}\right)^k \cdot \left(\frac{3}{4}\right)^{15 - k}. 

2. Наиболее вероятное число перегоревших лампочек (мода):

   Для биномиального распределения наиболее вероятное значение случайной величины [X] (мода) можно найти с помощью формулы:

    M = \lfloor (n + 1)p \rfloor \text{ или } \lfloor (n + 1)p \rfloor - 1, 

   где [\lfloor x \rfloor] — это целая часть числа [x].

   Подставим [n = 15] и [p = 1/4]:

    M = \lfloor (15 + 1) \cdot \frac{1}{4} \rfloor = \lfloor 16 \cdot \frac{1}{4} \rfloor = \lfloor 4 \rfloor = 4. 

   Таким образом, наиболее вероятное число перегоревших лампочек — [M = 4].

Ответ:

1. Закон распределения случайной величины [X] — это биномиальное распределение:

    P(X = k) = C_{15}^k \cdot \left(\frac{1}{4}\right)^k \cdot \left(\frac{3}{4}\right)^{15 - k}, \quad k = 0, 1, 2, \dots, 15. 

2. Наиболее вероятное число перегоревших лампочек (мода) — [4].