Найти начальные и центральные моменты первого, второго и третьего порядка для случайной величины

Предмет и раздел:

Предмет: Теория вероятностей и математическая статистика. Раздел: Дискретные случайные величины, моменты случайной величины.

Задача:

Найти начальные и центральные моменты первого, второго и третьего порядка для случайной величины \(X\) со значениями \(X_i\) и вероятностями \(P_i\).

Даны:

Имеем значения случайной величины \(X\) и соответствующие вероятности \(P\):

\[ X: 67,\ 70,\ 76,\ 83,\ 89,\ 95,\ 101,\ 104,\ 109,\ 115 \]

\[ P: 0{,}05, 0{,}07, 0{,}14, 0{,}31, 0{,}18, 0{,}11, 0{,}05, 0{,}04, 0{,}03, 0{,}02 \]

1. Нахождение математического ожидания (или среднего значения):

Математическое ожидание \(M[X]\) — это начальный момент первого порядка:

\[ M[X] = \sum_{i=1}^{n} X_i P_i \]

Подставляем значения:

\[ M[X] = 67 \times 0{,}05 + 70 \times 0{,}07 + 76 \times 0{,}14 + 83 \times 0{,}31 + 89 \times 0{,}18 + 95 \times 0{,}11 + 101 \times 0{,}05 + 104 \times 0{,}04 + 109 \times 0{,}03 + 115 \times 0{,}02 \]

Вычислим:

\[ M[X] = 3{,}35 + 4{,}9 + 10{,}64 + 25{,}73 + 16{,}02 + 10{,}45 + 5{,}05 + 4{,}16 + 3{,}27 + 2{,}3 \]

\[ M[X] = 85{,}87 \]

Итак, математическое ожидание \(M[X] = 85{,}87\).

2. Нахождение начальных моментов второго и третьего порядка:

Начальный момент второго порядка:

\[ M[X^2] = \sum_{i=1}^{n} X_i^2 P_i \]

Вычисляем:

\[ M[X^2] = 67^2 \times 0{,}05 + 70^2 \times 0{,}07 + 76^2 \times 0{,}14 + 83^2 \times 0{,}31 + 89^2 \times 0{,}18 + 95^2 \times 0{,}11 + 101^2 \times 0{,}05 + 104^2 \times 0{,}04 + 109^2 \times 0{,}03 + 115^2 \times 0{,}02 \]

\[ M[X^2] = 4489 \times 0{,}05 + 4900 \times 0{,}07 + 5776 \times 0{,}14 + 6889 \times 0{,}31 + 7921 \times 0{,}18 + 9025 \times 0{,}11 + 10201 \times 0{,}05 + 10816 \times 0{,}04 + 11881 \times 0{,}03 + 13225 \times 0{,}02 \]

\[ M[X^2] = 224{,}45 + 343 + 808{,}64 + 2135{,}59 + 1425{,}78 + 992{,}75 + 510{,}05 + 432{,}64 + 356{,}43 + 264{,}5 \]

\[ M[X^2] = 8493{,}83 \]

Начальный момент третьего порядка:

\[ M[X^3] = \sum_{i=1}^{n} X_i^3 P_i \]

Рассчитаем:

\[ M[X^3] = 67^3 \times 0{,}05 + 70^3 \times 0{,}07 + 76^3 \times 0{,}14 + 83^3 \times 0{,}31 + 89^3 \times 0{,}18 + 95^3 \times 0{,}11 + 101^3 \times 0{,}05 + 104^3 \times 0{,}04 + 109^3 \times 0{,}03 + 115^3 \times 0{,}02 \]

\[ M[X^3] = 300763 \times 0{,}05 + 343000 \times 0{,}07 + 438976 \times 0{,}14 + 571787 \times 0{,}31 + 704969 \times 0{,}18 + 857375 \times 0{,}11 + 1030301 \times 0{,}05 + 1124864 \times 0{,}04 + 1295029 \times 0{,}03 + 1511875 \times 0{,}02 \]

\[ M[X^3] = 15038{,}15 + 24010 + 61456 + 177254 + 126895 + 94312 + 51515{,}05 + 44994{,}56 + 38850{,}87 + 30237{,}5 \]

\[ M[X^3] = 666563{,}13 \]

3. Нахождение центральных моментов:

Центральный момент порядка \(k\) вычисляется по формуле:

\[ \mu_k = M[(X - M[X])^k] \]

Центральный момент первого порядка:

\[ \mu_1 = M[X - M[X]] = M[X] - M[X] = 0 \]

Центральный момент второго порядка (дисперсия):

\[ \mu_2 = M[(X - M[X])^2] = M[X^2] - (M[X])^2 \]

\[ \mu_2 = 8493{,}83 - (85{,}87)^2 \]

\[ \mu_2 = 8493{,}83 - 7379{,}77 = 1114{,}06 \]

Центральный момент третьего порядка (коэффициент асимметрии):

\[ \mu_3 = M[(X - M[X])^3] = M[X^3] - 3M[X]M[X^2] + 2(M[X])^3 \]

Найдем шаги отдельно:

\[ 3M[X]M[X^2] = 3 \times 85{,}87 \times 8493{,}83 = 2189375{,}41 \]

\[ (M[X])^3 = (85{,}87)^3 = 632735{,}37 \]

\[ \mu_3 = 666563{,}13 - 3 \times 85{,}87 \times 8493{,}83 + 2 \times 85{,}87^3 \]

Калькуляция даёт результат:

\[ \mu_3 = 666563{,}13 - 2189375{,}41 + 1255367{,}07 = -267445\{,}21 \]

Ответ:

• Начальные моменты:
  • Первого порядка: \( M[X] = 85{,}87 \)
  • Второго порядка: \( M[X^2] = 8493{,}83 \)
  • Третьего порядка: \( M[X^3] = 666563{,}13 \)
• Центральные моменты:
  • Первого порядка: \( \mu_1 = 0 \)
  • Второго порядка (дисперсия): \( \mu_2 = 1114{,}06 \)
  • Третьего порядка: \( \mu_3 = -267445 \)

Итак, мы нашли: