Найти М(X), D(X), «(X), функцию распределения дискретной случайной величины Х, если она задана законом распределения

Определение предмета и раздела: Данное задание относится к предмету Теория вероятностей и математическая статистика. А именно, к разделу Дискретные случайные величины и их числовые характеристики.

Задан закон распределения дискретной случайной величины, и требуется найти:

• \(M(X)\) — математическое ожидание,
• \(D(X)\) — дисперсию,
• \(\sigma(X)\) — среднеквадратичное отклонение,
• Функцию распределения (интегральную функцию распределения) случайной величины \(X\).

Дано: Закон распределения случайной величины \(X\):

\[ X: \quad 5 \quad 7 \quad 10 \quad 15 \]

\[ P(X): \quad 0.2 \quad 0.5 \quad 0.2 \quad 0.1 \]

Найдем \(M(X)\) — математическое ожидание:

Математическое ожидание \(M(X)\) для дискретной случайной величины вычисляется по формуле:

\[ M(X) = \sum_{i} x_i \cdot P(x_i) \]

Подставим значения:

\[ M(X) = 5 \cdot 0.2 + 7 \cdot 0.5 + 10 \cdot 0.2 + 15 \cdot 0.1 \]

Выполним расчет:

\[ M(X) = 1 + 3.5 + 2 + 1.5 = 8 \]

Итак, математическое ожидание:

\[ M(X) = 8 \]

Найдем \(D(X)\) — дисперсию:

Дисперсия \(D(X)\) для дискретной случайной величины вычисляется по формуле:

\[ D(X) = \sum_{i} (x_i - M(X))^2 \cdot P(x_i) \]

Сначала найдем \((x_i - M(X))^2\) для каждого значения \(x_i\):

• Для \(x = 5\): \((5 - 8)^2 = (-3)^2 = 9\),
• Для \(x = 7\): \((7 - 8)^2 = (-1)^2 = 1\),
• Для \(x = 10\): \((10 - 8)^2 = 2^2 = 4\),
• Для \(x = 15\): \((15 - 8)^2 = 7^2 = 49\).

Теперь подставим в формулу для дисперсии:

\[ D(X) = 9 \cdot 0.2 + 1 \cdot 0.5 + 4 \cdot 0.2 + 49 \cdot 0.1 \]

Рассчитаем значения:

\[ D(X) = 1.8 + 0.5 + 0.8 + 4.9 = 8 \]

Итак, дисперсия:

\[ D(X) = 8 \]

Найдем \(\sigma(X)\) — среднеквадратичное отклонение:

Среднеквадратичное отклонение \(\sigma(X)\) — это квадратный корень из дисперсии:

\[ \sigma(X) = \sqrt{D(X)} \]

Подставим значения:

\[ \sigma(X) = \sqrt{8} \approx 2.83 \]

Итак, среднеквадратичное отклонение:

\[ \sigma(X) \approx 2.83 \]

Найдем функцию распределения \(F_X(x)\):

Функция распределения \(F_X(x)\) для дискретной случайной величины — это функция, которая накапливает вероятность того, что случайная величина примет значение, меньшее или равное \(x\).

\[ F_X(x) = P(X \leq x) \]

Вычислим \(F_X(x)\) для различных значений \(X\):

• Если \(x < 5\), то \(F_X(x) = 0\),
• Если \(5 \leq x < 7\), то \(F_X(x) = P(X = 5) = 0.2\),
• Если \(7 \leq x < 10\), то \(F_X(x) = P(X = 5) + P(X = 7) = 0.2 + 0.5 = 0.7\),
• Если \(10 \leq x < 15\), то \(F_X(x) = P(X = 5) + P(X = 7) + P(X = 10) = 0.2 + 0.5 + 0.2 = 0.9\),
• Если \(x \geq 15\), то \(F_X(x) = P(X = 5) + P(X = 7) + P(X = 10) + P(X = 15) = 0.2 + 0.5 + 0.2 + 0.1 = 1\).

\[ F_X(x) = \begin{cases} 0, & x < 5 \\ 0.2, & 5 \leq x < 7 \\ 0.7, & 7 \leq x < 10 \\ 0.9, & 10 \leq x < 15 \\ 1, & x \geq 15 \\ \end{cases} \]

Ответ:

• Математическое ожидание \(M(X) = 8\),
• Дисперсия \(D(X) = 8\),
• Среднеквадратичное отклонение \(\sigma(X) \approx 2.83\),
• Функция распределения \(F_X(x)\) задана кусочно:

\[ F_X(x) = \begin{cases} 0, & x < 5 \\ 0.2, & 5 \leq x < 7 \\ 0.7, & 7 \leq x < 10 \\ 0.9, & 10 \leq x < 15 \\ 1, & x \geq 15 \\ \end{cases} \]

Таким образом, функция распределения: