Предмет: Теория вероятностей и математическая статистика
Раздел: Дискретные случайные величины
Дискретная случайная величина \( X \) задана законом распределения (совокупностью значений переменной и соответствующих им вероятностей):
\[
\begin{array}{c|c}
X & P(X) \\
\hline
5 & 0.2 \\
7 & 0.5 \\
10 & 0.2 \\
15 & 0.1 \\
\end{array}
\]
Задание: Найти математическое ожидание \( M(X) \), дисперсию \( D(X) \), среднеквадратическое отклонение \( \sigma(X) \), а также функцию распределения дискретной случайной величины \( X \).
1. Математическое ожидание \( M(X) \)
Математическое ожидание \( M(X) \) для дискретной случайной величины рассчитывается по формуле:
\[
M(X) = \sum_{i} X_i P(X_i)
\]
Подставим значения:
\[
M(X) = 5 \times 0.2 + 7 \times 0.5 + 10 \times 0.2 + 15 \times 0.1
\]
Выполним вычисления:
\[
M(X) = 5 \times 0.2 + 7 \times 0.5 + 10 \times 0.2 + 15 \times 0.1 = 1 + 3.5 + 2 + 1.5 = 8
\]
Ответ: \( M(X) = 8 \).
2. Дисперсия \( D(X) \)
Дисперсия дискретной случайной величины рассчитывается по следующей формуле:
\[
D(X) = \sum_{i} (X_i - M(X))^2 P(X_i)
\]
Сначала посчитаем отклонения \( X_i \) от математического ожидания \( M(X) = 8 \):
\[
\text{Отклонения:} \quad 5 - 8 = -3, \quad 7 - 8 = -1, \quad 10 - 8 = 2, \quad 15 - 8 = 7
\]
Теперь посчитаем квадраты отклонений:
\[
\text{Квадраты отклонений:} \quad (-3)^2 = 9, \quad (-1)^2 = 1, \quad 2^2 = 4, \quad 7^2 = 49
\]
Теперь находим дисперсию:
\[
D(X) = 9 \times 0.2 + 1 \times 0.5 + 4 \times 0.2 + 49 \times 0.1
\]
Выполним вычисления:
\[
D(X) = 9 \times 0.2 + 1 \times 0.5 + 4 \times 0.2 + 49 \times 0.1 = 1.8 + 0.5 + 0.8 + 4.9 = 8
\]
Ответ: \( D(X) = 8 \).
3. Среднеквадратическое отклонение \( \sigma(X) \)
Среднеквадратическое отклонение \( \sigma(X) \) — это корень квадратный из дисперсии:
\[
\sigma(X) = \sqrt{D(X)} = \sqrt{8} \approx 2.83
\]
Ответ: \( \sigma(X) \approx 2.83 \).
4. Функция распределения случайной величины \( X \)
Функция распределения \( F(X) \) вычисляется как накопленная сумма вероятностей. Для каждого значения \( X_k \) функция распределения равна сумме вероятностей для всех значений \( X_i \leq X_k \):
\[
F(x) = P(X \leq x)
\]
Для каждого значения \( X \):
1. \( F(5) = P(X \leq 5) = 0.2 \)
2. \( F(7) = P(X \leq 7) = P(X = 5) + P(X = 7) = 0.2 + 0.5 = 0.7 \)
3. \( F(10) = P(X \leq 10) = P(X = 5) + P(X = 7) + P(X = 10) = 0.2 + 0.5 + 0.2 = 0.9 \)
4. \( F(15) = P(X \leq 15) = 0.2 + 0.5 + 0.2 + 0.1 = 1 \)
Таким образом, функция распределения \( F(x) \) следующая:
\[
F(x) = \begin{cases}
0, & x < 5 \\
0.2, & 5 \leq x < 7 \\
0.7, & 7 \leq x < 10 \\
0.9, & 10 \leq x < 15 \\
1, & x \geq 15
\end{cases}
\]
Ответы:
1. \( M(X) = 8 \)
2. \( D(X) = 8 \)
3. \( \sigma(X) \approx 2.83 \)
4. Функция распределения \( F(x) \):
\[
F(x) = \begin{cases}
0, & x < 5 \\
0.2, & 5 \leq x < 7 \\
0.7, & 7 \leq x < 10 \\
0.9, & 10 \leq x < 15 \\
1, & x \geq 15
\end{cases}
\]