Найти медиану и квантиль

Предмет: Теория вероятностей и математическая статистика

Раздел: Непрерывные случайные величины

Дано:

Функция плотности распределения случайной величины ( X ) задана как:

 f_X(x) = \begin{cases} 0, & x < -2 \ 2C(x+2), & -2 \leq x \leq 1 \ 0, & x > 1 \end{cases} 

Необходимо найти:
а) Коэффициент ( C );
б) Математическое ожидание ( M[X] );
в) Дисперсию ( D[X] );
г) Функцию распределения ( F_X(x) );
д) Вероятность ( P(X < M[X]) );
е) Медиану распределения;
ж) Квантиль уровня 0.81.

Решение

Шаг 1: Найдем коэффициент ( C )

Так как ( f_X(x) ) является плотностью вероятности, она должна удовлетворять условию нормировки:

 \int_{-\infty}^{\infty} f_X(x) dx = 1. 

Подставляя выражение для ( f_X(x) ):

 \int_{-2}^{1} 2C(x+2) dx = 1. 

Вычислим интеграл:

 2C \int_{-2}^{1} (x+2) dx = 1. 

Найдем первообразную:

 \int (x+2) dx = \frac{x^2}{2} + 2x. 

Подставляем пределы:

 \left[ \frac{x^2}{2} + 2x \right]_{-2}^{1} = \left( \frac{1^2}{2} + 2(1) \right) - \left( \frac{(-2)^2}{2} + 2(-2) \right). 

Вычисляем:

 \left( \frac{1}{2} + 2 \right) - \left( \frac{4}{2} - 4 \right) = \left( 2.5 \right) - \left( 2 - 4 \right) = 2.5 - (-2) = 4.5. 

Таким образом,

 2C \cdot 4.5 = 1. 

Отсюда:

 C = \frac{1}{9}. 

Шаг 2: Найдем математическое ожидание ( M[X] )

Математическое ожидание определяется как:

 M[X] = \int_{-\infty}^{\infty} x f_X(x) dx. 

Подставляем ( f_X(x) ):

 M[X] = \int_{-2}^{1} x \cdot 2C (x+2) dx. 

Подставляем ( C = \frac{1}{9} ):

 M[X] = \int_{-2}^{1} x \cdot \frac{2}{9} (x+2) dx. 

Раскрываем скобки:

 M[X] = \frac{2}{9} \int_{-2}^{1} (x^2 + 2x) dx. 

Находим интегралы:

 \int x^2 dx = \frac{x^3}{3}, \quad \int 2x dx = x^2. 

Подставляем пределы:

 \left[ \frac{x^3}{3} + x^2 \right]_{-2}^{1}. 

Вычисляем в точке ( x = 1 ):

 \frac{1^3}{3} + 1^2 = \frac{1}{3} + 1 = \frac{4}{3}. 

Вычисляем в точке ( x = -2 ):

 \frac{(-2)^3}{3} + (-2)^2 = \frac{-8}{3} + 4 = \frac{-8}{3} + \frac{12}{3} = \frac{4}{3}. 

Разность:

 \frac{4}{3} - \frac{4}{3} = 0. 

Таким образом,

 M[X] = \frac{2}{9} \cdot 0 = 0. 

Шаг 3: Найдем дисперсию ( D[X] )

Дисперсия определяется как:

 D[X] = M[X^2] - (M[X])^2. 

Найдем ( M[X^2] ):

 M[X^2] = \int_{-2}^{1} x^2 f_X(x) dx. 

Подставляем ( f_X(x) ):

 M[X^2] = \int_{-2}^{1} x^2 \cdot 2C (x+2) dx. 

Аналогично предыдущим вычислениям, решаем:

 M[X^2] = \frac{2}{9} \int_{-2}^{1} (x^3 + 2x^2) dx. 

Вычисляем интегралы:

 \int x^3 dx = \frac{x^4}{4}, \quad \int 2x^2 dx = \frac{2x^3}{3}. 

Подставляем пределы:

 \left[ \frac{x^4}{4} + \frac{2x^3}{3} \right]_{-2}^{1}. 

После вычислений получаем:

 M[X^2] = \frac{2}{9} \times \frac{9}{4} = \frac{18}{36} = \frac{1}{2}. 

Так как ( M[X] = 0 ), то:

 D[X] = M[X^2] - (M[X])^2 = \frac{1}{2} - 0 = \frac{1}{2}. 

Шаг 4: Найдем функцию распределения ( F_X(x) )

Функция распределения определяется как:

 F_X(x) = P(X \leq x) = \int_{-\infty}^{x} f_X(t) dt. 

Для ( x < -2 ):

 F_X(x) = 0. 

Для ( -2 \leq x \leq 1 ):

 F_X(x) = \int_{-2}^{x} 2C (t+2) dt. 

Решив этот интеграл, получаем:

 F_X(x) = \frac{(x+2)^2}{9}, \quad -2 \leq x \leq 1. 

Для ( x > 1 ):

 F_X(x) = 1. 

Шаг 5: Найдем медиану и квантиль 0.81

Медиана ( Me ) определяется из уравнения:

 F_X(Me) = 0.5. 

Решая уравнение:

 \frac{(Me+2)^2}{9} = 0.5. 

Получаем:

 Me = -2 + \sqrt{4.5} \approx -0.87. 

Аналогично решаем уравнение для квантиля уровня 0.81:

 \frac{(x+2)^2}{9} = 0.81. 

Решая, получаем:

 x = -2 + \sqrt{7.29} \approx -0.3. 

Ответы:

а) ( C = \frac{1}{9} );
б) ( M[X] = 0 );
в) ( D[X] = \frac{1}{2} );
г) ( FX(x) ) см. выше;
д) ( P(X < 0) = 0.5 );
е) ( Me \approx -0.87 );
 ж) ( Q{0.81} \approx -0.3 ).