Найти математическое ожидание суммы числа очков, которые выпадут на всех гранях

Предмет: Теория вероятностей и математическая статистика. Раздел: Математическое ожидание случайных величин.

Задание: Бросают \( n \) игральных костей. Найти математическое ожидание суммы числа очков, которые выпадут на всех гранях.

Шаг 1. Постановка задачи и описание модели.

У нас есть \( n \) игральных кубиков (или костей), каждая с 6 гранями, на которых изображены числа от 1 до 6. Требуется найти математическое ожидание суммы очков, которые выпадают на всех \( n \) костях.

Математической моделью задачи является:

1. Пусть \( X_i \) — случайная величина, представляющая число очков, выпадающих на \( i \)-ой кости (где \( i = 1, 2, \dots, n \)).
2. Очевидно, что каждый \( X_i \) может принимать значения от 1 до 6 с равной вероятностью \(\frac{1}{6}\).
3. Сумма всех значений, выпавших на костях, будет \( S = X_1 + X_2 + \dots + X_n \).
4. Задача сводится к нахождению математического ожидания суммы \( S \), то есть \(\mathbb{E}(S)\).

Шаг 2. Найдем математическое ожидание для одной кости.

Для начала найдем математическое ожидание одной случайной величины \( X_i \) (то есть количество очков на одной кости). Математическое ожидание \(\mathbb{E}(X_i)\) для игральной кости, на которой каждый результат от 1 до 6 равновозможен, рассчитывается как среднее арифметическое всех возможных исходов:

\[\mathbb{E}(X_i) = \frac{1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6}{6} = \frac{21}{6} = 3.5\]

Шаг 3. Найдем математическое ожидание суммы \( S \).

Сумма случайных величин \( S = X_1 + X_2 + \dots + X_n \) для разных бросков костей считается классическая. Математическое ожидание суммы является суммой математических ожиданий:

\[\mathbb{E}(S) = \mathbb{E}(X_1 + X_2 + \dots + X_n) = \mathbb{E}(X_1) + \mathbb{E}(X_2) + \dots + \mathbb{E}(X_n)\]

Поскольку математическое ожидание каждого \( X_i \) одинаково и равно \( 3.5 \), получаем:

\[\mathbb{E}(S) = 3.5 + 3.5 + \dots + 3.5 = n \cdot 3.5\]

Ответ: Математическое ожидание суммы очков на \( n \) игральных костях равно: