Найти математическое ожидание суммы числа очков, которые выпадут на всех гранях

Предмет: Теория вероятностей и математическая статистика. Раздел: Математическое ожидание случайных величин.

Задание: Бросают $\text{(}n\text{)}$ игральных костей. Найти математическое ожидание суммы числа очков, которые выпадут на всех гранях.

Шаг 1. Постановка задачи и описание модели.

У нас есть $\text{(}n\text{)}$ игральных кубиков (или костей), каждая с 6 гранями, на которых изображены числа от 1 до 6. Требуется найти математическое ожидание суммы очков, которые выпадают на всех $\text{(}n\text{)}$ костях.

Математической моделью задачи является:

1. Пусть $\text{(}{X}_i\text{)}$ — случайная величина, представляющая число очков, выпадающих на $\text{(}i\text{)}$-ой кости (где $\text{(}i=1,2,\dots ,n\text{)}$).
2. Очевидно, что каждый $\text{(}{X}_i\text{)}$ может принимать значения от 1 до 6 с равной вероятностью $\text{(}\frac{1}{6}\text{)}$.
3. Сумма всех значений, выпавших на костях, будет $\text{(}S=X_1+X_2+\cdots +X_n\text{)}$.
4. Задача сводится к нахождению математического ожидания суммы $\text{(}S\text{)}$, то есть $\text{(}\mathbb{E}(S)\text{)}$.

Шаг 2. Найдем математическое ожидание для одной кости.

Для начала найдем математическое ожидание одной случайной величины $\text{(}{X}_i\text{)}$ (то есть количество очков на одной кости). Математическое ожидание $\text{(}\mathbb{E}(X_i)\text{)}$ для игральной кости, на которой каждый результат от 1 до 6 равновозможен, рассчитывается как среднее арифметическое всех возможных исходов:

$\text{[}\mathbb{E}(X_i)=\frac{1+2+3+4+5+6}{6}=\frac{21}{6}=3.5\text{]}$

Шаг 3. Найдем математическое ожидание суммы $\text{(}S\text{)}$.

Сумма случайных величин $\text{(}S=X_1+X_2+\cdots +X_n\text{)}$ для разных бросков костей считается классическая. Математическое ожидание суммы является суммой математических ожиданий:

$\text{[}\mathbb{E}(S)=\mathbb{E}(X_1+X_2+\cdots +X_n)=\mathbb{E}(X_1)+\mathbb{E}(X_2)+\cdots +\mathbb{E}(X_n)\text{]}$

Поскольку математическое ожидание каждого $\text{(}{X}_i\text{)}$ одинаково и равно $\text{(}3.5\text{)}$, получаем:

$\text{[}\mathbb{E}(S)=3.5+3.5+\cdots +3.5=n\cdot 3.5\text{]}$

Ответ: Математическое ожидание суммы очков на $\text{(}n\text{)}$ игральных костях равно: