Найти математическое ожидание суммы числа очков, которые выпадут на всех гранях

Предмет: Теория вероятностей и математическая статистика. Раздел: Математическое ожидание случайных величин.


Задание: Бросают \(n\) игральных костей. Найти математическое ожидание суммы числа очков, которые выпадут на всех гранях.

Шаг 1. Постановка задачи и описание модели.

У нас есть \(n\) игральных кубиков (или костей), каждая с 6 гранями, на которых изображены числа от 1 до 6. Требуется найти математическое ожидание суммы очков, которые выпадают на всех \(n\) костях.

Математической моделью задачи является:

  1. Пусть \(Xi\) — случайная величина, представляющая число очков, выпадающих на \(i\)-ой кости (где \(i=1,2,,n\)).
  2. Очевидно, что каждый \(Xi\) может принимать значения от 1 до 6 с равной вероятностью \(16\).
  3. Сумма всех значений, выпавших на костях, будет \(S=X1+X2++Xn\).
  4. Задача сводится к нахождению математического ожидания суммы \(S\), то есть \(E(S)\).
Шаг 2. Найдем математическое ожидание для одной кости.

Для начала найдем математическое ожидание одной случайной величины \(Xi\) (то есть количество очков на одной кости). Математическое ожидание \(E(Xi)\) для игральной кости, на которой каждый результат от 1 до 6 равновозможен, рассчитывается как среднее арифметическое всех возможных исходов:

\[E(Xi)=1+2+3+4+5+66=216=3.5\]

Шаг 3. Найдем математическое ожидание суммы \(S\).

Сумма случайных величин \(S=X1+X2++Xn\) для разных бросков костей считается классическая. Математическое ожидание суммы является суммой математических ожиданий:

\[E(S)=E(X1+X2++Xn)=E(X1)+E(X2)++E(Xn)\]

Поскольку математическое ожидание каждого \(Xi\) одинаково и равно \(3.5\), получаем:

\[E(S)=3.5+3.5++3.5=n3.5\]

Ответ: Математическое ожидание суммы очков на \(n\) игральных костях равно:
\[E(S)=3.5n\]
Не нашли нужного вам решения? Оставьте заявку и наши авторы быстро и качественно помогут вам с решением.
Оставить заявку
Работа вам нужна срочно. Не волнуйтесь, уложимся!

Узнайте стоимость работы онлайн

  • 22423 авторов готовы помочь тебе.
  • 2402 онлайн
Напишем БЕСПЛАТНО любую работу за 30 минут